Derive a função:
Y=e^{x^{\wedge} 2 \cdot \operatorname{sen}^{\wedge} 2 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
Y = e^{x^{2}\cdot \sin^{2} x}
e pede que a gente a derive, ou seja, encontre \dfrac{dY}{dx}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é uma exponencial cuja base é e e cujo expoente é a função x^{2}\sin^{2}x.
  • Não há outras condições explícitas (domínio implícito é \mathbb{R}).

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): identificar a composição de funções. Vou chamar o expoente de uma função auxiliar para aplicar a regra da cadeia com calma. Defino
u(x)=x^{2}\sin^{2}x,
de modo que
Y(x)=e^{u(x)}.
A ideia é: derivar Y usando a regra da cadeia para exponencial, depois derivar u(x) usando a regra do produto e mais uma regra da cadeia para \sin^{2}x.

Passo 3

Regra que vamos usar (aulas rápidas): derivative da exponencial composta.
Se Y(x)=e^{u(x)}, então a derivada é
\frac{dY}{dx}=u'(x)\,e^{u(x)}.
Aqui u'(x) é a derivada do expoente. Essa é a regra da cadeia aplicada à função exponencial: derivada de e^{(\cdot)} é e^{(\cdot)} vezes a derivada do interior.

Passo 4

Agora derivamos u(x)=x^{2}\sin^{2}x. Note que u é produto de duas funções: f(x)=x^{2} e g(x)=\sin^{2}x. A regra do produto diz que
(u)'\;=\;f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Calculamos as derivadas parciais: f'(x)=2x. Resta achar g'(x) com cuidado.

Passo 5

Derivada de g(x)=\sin^{2}x: é uma composição (\sin x)^{2}. Usamos a regra da cadeia: se h(x)=(v(x))^{2} então h'(x)=2v(x)v'(x). Aqui v(x)=\sin x e v'(x)=\cos x. Logo
g'(x)=2\sin x\cdot\cos x.
Observação útil: 2\sin x\cos x=\sin(2x), mas vou manter a forma 2\sin x\cos x para tornar a combinação algébrica mais direta.

Passo 6

Substituindo f'(x), g(x) e g'(x) na regra do produto, temos
u'(x)=2x\cdot \sin^{2}x + x^{2}\cdot (2\sin x\cos x).
Podemos escrever isso como
u'(x)=2x\sin^{2}x + 2x^{2}\sin x\cos x.

Passo 7

Agora voltamos à derivada de Y usando a fórmula da Passo 3:
\frac{dY}{dx}=u'(x)\,e^{u(x)}.
Substituindo u(x)=x^{2}\sin^{2}x e o u'(x) obtido,
\frac{dY}{dx}=\bigl(2x\sin^{2}x + 2x^{2}\sin x\cos x\bigr)\,e^{x^{2}\sin^{2}x}.

Passo 8

Fazer uma simplificação algébrica para deixar a resposta mais compacta. Podemos fatorar 2x\sin x do parêntese:
2x\sin^{2}x + 2x^{2}\sin x\cos x = 2x\sin x\bigl(\sin x + x\cos x\bigr).
Portanto a derivada fica
\frac{dY}{dx}=2x\sin x\bigl(\sin x + x\cos x\bigr)\,e^{x^{2}\sin^{2}x}.

Resposta

\dfrac{dY}{dx}=2x\sin x\bigl(\sin x + x\cos x\bigr)e^{x^{2}\sin^{2}x}

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