Derive a função:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que a gente a derive, ou seja, encontre
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é uma exponencial cuja base é
e cujo expoente é a função . - Não há outras condições explícitas (domínio implícito é
).
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): identificar a composição de funções. Vou chamar o expoente de uma função auxiliar para aplicar a regra da cadeia com calma. Defino
de modo que
A ideia é: derivar
usando a regra da cadeia para exponencial, depois derivar
usando a regra do produto e mais uma regra da cadeia para
.
Passo 3
Regra que vamos usar (aulas rápidas): derivative da exponencial composta.
Se , então a derivada é
Se
Aqui
é a derivada do expoente. Essa é a regra da cadeia aplicada à função exponencial: derivada de
é
vezes a derivada do interior.
Passo 4
Agora derivamos
. Note que
é produto de duas funções:
e
. A regra do produto diz que
Calculamos as derivadas parciais:
. Resta achar
com cuidado.
Passo 5
Derivada de
: é uma composição
. Usamos a regra da cadeia: se
então
. Aqui
e
. Logo
Observação útil:
, mas vou manter a forma
para tornar a combinação algébrica mais direta.
Passo 6
Substituindo
,
e
na regra do produto, temos
Podemos escrever isso como
Passo 7
Agora voltamos à derivada de
usando a fórmula da Passo 3:
Substituindo
e o
obtido,
Passo 8
Fazer uma simplificação algébrica para deixar a resposta mais compacta. Podemos fatorar
do parêntese:
Portanto a derivada fica