(Valor: 2,0) Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas x+y=3 e y+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela reta
x + y = 3
e pela parábola
y = x^2.
O conteúdo é “área entre duas curvas” e vamos precisar de dois passos básicos: (i) encontrar as abscissas de interseção das curvas e (ii) integrar a diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
x^2 = 3 - x
que dá
x^2 + x - 3 = 0.
As raízes são
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}.
Chamemos
a = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}, \quad b = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}.

Passo 3

Para esboçar: a parábola y=x^2 abre para cima e a reta y=3-x tem coeficiente angular -1 e intercepto em y=3. Nos pontos x=a e x=b elas se cruzam, e entre esses x a reta está acima da parábola (por exemplo, em x=0 3>0).

Passo 4

A área A entre as curvas é
A = \int_{x=a}^{x=b} \bigl[\,(3 - x) - (x^2)\bigr]\,dx = \int_{a}^{b} (3 - x - x^2)\,dx.

Passo 5

Calculemos a antiderivada:
\int (3 - x - x^2)\,dx = 3x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}.
Logo
A = \Bigl[\,3x - \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{x=a}^{x=b}.
Usando b - a = \sqrt{13}, b+a=-1 e ba=-3, obtém-se
A = \frac{13}{6}\,\sqrt{13}.

Resposta

A área da região é
\frac{13\sqrt{13}}{6}.

Exercícios relacionados