Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos (x) \operatorname{sen}(x)) d x

Passo 1

Nesse exercício, vamos calcular a integral definida
\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\sin(x)\,dx.
O conteúdo envolvido é cálculo de integral definida e usaremos o método de substituição (u-sub) apoiado no reconhecimento da derivada de uma função composta.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin(x)
o que implica
du = \cos(x)\,dx.
Com isso, a integral original fica
\int \cos(x) \sin(x) \, dx = \int u \, du.

Passo 3

Agora, calculamos a antiderivada de u:
\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C.
Voltando à variável x, obtemos a primitiva
F(x) = \frac{\sin^2(x)}{2}.

Passo 4

Avaliamo-la nos limites de \displaystyle x=\tfrac{\pi}{4} até \displaystyle x=\tfrac{\pi}{2}:
\left. \frac{\sin^2(x)}{2} \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin^2\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \sin^2\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)}{2} = \frac{1 - \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^{2}}{2} = \frac{1 - \tfrac12}{2} = \frac{\tfrac12}{2} = \frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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