Com o valor experimental da condutividade térmica do nitrogênio (Tabela 21.2), estime a seção eficaz de colisão das moléculas de N a 298 K.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem o valor experimental da condutividade térmica do nitrogênio (N₂) a 298 K e precisa usar essa informação para estimar a seção eficaz de colisão das moléculas de N₂. Isso envolve conceitos de teoria cinética dos gases e termodinâmica. Para resolver isso, vamos precisar de algumas fórmulas que relacionam a condutividade térmica com a seção de colisão e usar algumas constantes físicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da condutividade térmica ($ \kappa $) na teoria cinética dos gases:
Onde:
- $ n $ é a densidade numérica das moléculas (número de moléculas por unidade de volume),
- $ \overline{v} $ é a velocidade média das moléculas,
- $ \lambda $ é o caminho livre médio (distância média que uma molécula percorre antes de colidir),
- $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante.
Passo 3
Sabemos que o caminho livre médio ($ \lambda
\sigma $) pela seguinte expressão:
Nosso objetivo é encontrar $ \sigma $, então vamos primeiro reorganizar essa equação para isolá-la:
Passo 4
Agora, vamos relacionar $ \lambda $ com a condutividade térmica usando a primeira fórmula. Reorganizando a equação da condutividade térmica para $ \lambda $:
Substituindo essa expressão na equação de $ \sigma $:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a velocidade média ($ \overline{v}
C_v $). A velocidade média pode ser calculada por:
Onde:
- $ k_B $ é a constante de Boltzmann (
), - $ T $ é a temperatura (298 K),
- $ m $ é a massa molecular do nitrogênio. Sabemos que a massa molecular do N₂ é aproximadamente 28 g/mol, ou seja, $ 0.028 , kg/mol $. Convertendo para massa de uma molécula: $ m = \frac{0.028}{6.022 \times 10^{23}} , kg $.
A capacidade calorífica a volume constante para um gás diatômico como o N₂ é aproximadamente:
Onde $ R = 8.314 , J/(mol·K) $.
Calculando $ \overline{v} $:
Passo 6
Agora, vamos substituir todos os valores na equação de $ \sigma $:
Assumindo que a condutividade térmica do N₂ a 298 K é aproximadamente $ \kappa = 0.02584 , W/(m·K) $, temos:
Resposta
A seção eficaz de colisão das moléculas de N₂ a 298 K é aproximadamente $ 3 \times 10^{-19} , m^2 $.