Com o valor experimental da condutividade térmica do nitrogênio (Tabela 21.2), estime a seção eficaz de colisão das moléculas de N a 298 K.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem o valor experimental da condutividade térmica do nitrogênio (N₂) a 298 K e precisa usar essa informação para estimar a seção eficaz de colisão das moléculas de N₂. Isso envolve conceitos de teoria cinética dos gases e termodinâmica. Para resolver isso, vamos precisar de algumas fórmulas que relacionam a condutividade térmica com a seção de colisão e usar algumas constantes físicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da condutividade térmica ($ \kappa $) na teoria cinética dos gases:
kappa
Onde:
  • $ n $ é a densidade numérica das moléculas (número de moléculas por unidade de volume),
  • $ \overline{v} $ é a velocidade média das moléculas,
  • $ \lambda $ é o caminho livre médio (distância média que uma molécula percorre antes de colidir),
  • $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante.

Passo 3

Sabemos que o caminho livre médio ($ \lambda lambda áçãã \sigma $) pela seguinte expressão:
sigma
Nosso objetivo é encontrar $ \sigma $, então vamos primeiro reorganizar essa equação para isolá-la:
lambda = 1raiz2 pi sigma n

Passo 4

Agora, vamos relacionar $ \lambda $ com a condutividade térmica usando a primeira fórmula. Reorganizando a equação da condutividade térmica para $ \lambda $:
lambda
Substituindo essa expressão na equação de $ \sigma $:
lambda

Passo 5

Agora, precisamos calcular a velocidade média ($ \overline{v} v í C_v $). A velocidade média pode ser calculada por:
Cv
Onde:
  • $ k_B $ é a constante de Boltzmann ( v = raiz8 kB Tpi m ),
  • $ T $ é a temperatura (298 K),
  • $ m $ é a massa molecular do nitrogênio. Sabemos que a massa molecular do N₂ é aproximadamente 28 g/mol, ou seja, $ 0.028 , kg/mol $. Convertendo para massa de uma molécula: $ m = \frac{0.028}{6.022 \times 10^{23}} , kg $.
A capacidade calorífica a volume constante para um gás diatômico como o N₂ é aproximadamente:
kB
Onde $ R = 8.314 , J/(mol·K) $.
Calculando $ \overline{v} $:
1.380649 times 10^-23 , J/K

Passo 6

Agora, vamos substituir todos os valores na equação de $ \sigma $:
sigma
Assumindo que a condutividade térmica do N₂ a 298 K é aproximadamente $ \kappa = 0.02584 , W/(m·K) $, temos:
sigma = 517 times 52 times 8.3143 times raiz2 times pi times kappa

Resposta

A seção eficaz de colisão das moléculas de N₂ a 298 K é aproximadamente $ 3 \times 10^{-19} , m^2 $.

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