(Valor 1,5) Calcule as derivadas parciais indicadas:
z=\sqrt{x^{2}+4 y^{2}+2 x y e^{x^{2 y}}} f_{x}(1,2) e f_{y}(1,2)

Passo 1

O enunciado dá a função
z=\sqrt{x^{2}+4 y^{2}+2 x y e^{x^{2 y}}}
e pede as derivadas parciais \,f_{x}(1,2) e \,f_{y}(1,2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função dependente é f(x,y)=z.
  • O argumento da raiz quadrada é A(x,y)=x^{2}+4y^{2}+2xy\,e^{x^{2y}}.
  • Os pontos onde as derivadas devem ser avaliadas são x=1 e y=2, isto é, o ponto (1,2).

Passo 2

Estratégia geral (fórmulas e ideias que vou usar — explicadinhas):
  • Se f(x,y)=\sqrt{A(x,y)} com A>0, então usa-se a regra da cadeia para derivadas:
f_x(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{A(x,y)}}\;A_x(x,y), \qquad f_y(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{A(x,y)}}\;A_y(x,y).
Aqui A_x e A_y são as derivadas parciais de A em relação a x e y. A ideia é: a derivada de \sqrt{u} em relação a u é \dfrac{1}{2\sqrt{u}}, e daí multiplicamos pela derivada do que está dentro (regra da cadeia).
  • Para derivar termos como 2xy\,e^{x^{2y}} vamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para e^{x^{2y}}.
  • Para derivar x^{2y} em relação a x ou y é prático reescrever x^{2y}=e^{2y\ln x} e diferenciar. Assim:
\frac{\partial}{\partial x}x^{2y}=x^{2y}\cdot\frac{2y}{x}=2y\,x^{2y-1}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}x^{2y}=x^{2y}\cdot(2\ln x)=2\ln(x)\;x^{2y}.
Essas fórmulas vêm de \frac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}g'(x) (regra da cadeia) e de \frac{d}{dx}\ln x=1/x.

Passo 3

Calcular A_x(x,y). Lembrando
A(x,y)=x^{2}+4y^{2}+2xy\,e^{x^{2y}}.
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}x^{2}=2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}4y^{2}=0 (pois y é tratado como constante ao derivar em x).
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy\,e^{x^{2y}}\bigr) usamos regra do produto (produtode 2xy por e^{x^{2y}}):
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy\,e^{x^{2y}}\bigr) = \underbrace{\frac{\partial}{\partial x}(2xy)}_{=2y}\,e^{x^{2y}} + (2xy)\,e^{x^{2y}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2y}\bigr).
Usando \dfrac{\partial}{\partial x}x^{2y}=2y\,x^{2y-1} obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy\,e^{x^{2y}}\bigr)=2y\,e^{x^{2y}}+(2xy)\,e^{x^{2y}}\cdot(2y\,x^{2y-1}).
Agora somando tudo:
A_x(x,y)=2x+2y\,e^{x^{2y}}+ (2xy)(2y\,x^{2y-1})\,e^{x^{2y}}.
Podemos simplificar o último produto: (2xy)(2y\,x^{2y-1})=4y^{2}x^{2y}. Logo
A_x(x,y)=2x+2y\,e^{x^{2y}}+4y^{2}x^{2y}\,e^{x^{2y}}.

Passo 4

Calcular A_y(x,y). Novamente
A(x,y)=x^{2}+4y^{2}+2xy\,e^{x^{2y}}.
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}x^{2}=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}4y^{2}=8y.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy\,e^{x^{2y}}\bigr) usamos regra do produto:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy\,e^{x^{2y}}\bigr) = \underbrace{\frac{\partial}{\partial y}(2xy)}_{=2x}\,e^{x^{2y}} + (2xy)\,e^{x^{2y}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2y}\bigr).
Usando \dfrac{\partial}{\partial y}x^{2y}=2\ln(x)\;x^{2y} obtemos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy\,e^{x^{2y}}\bigr)=2x\,e^{x^{2y}}+(2xy)\,e^{x^{2y}}\cdot(2\ln x\;x^{2y}).
O segundo termo simplifica para (2xy)(2\ln x\;x^{2y})=4y\ln x\;x^{2y+1}. Portanto
A_y(x,y)=8y+2x\,e^{x^{2y}}+4y\ln x\;x^{2y+1}\,e^{x^{2y}}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da cadeia para obter f_x e f_y:
f_x(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{A(x,y)}}\;A_x(x,y), \qquad f_y(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{A(x,y)}}\;A_y(x,y),
com A(x,y)=x^{2}+4y^{2}+2xy\,e^{x^{2y}} e A_x,A_y obtidos nos passos anteriores.

Passo 6

Avaliar em (x,y)=(1,2). Primeiro calculos intermediários:
  • x^{2y} em (1,2) é 1^{4}=1.
  • Logo e^{x^{2y}} em (1,2) é e^{1}=e.
  • \ln(1)=0, o que vai anular termos com \ln x.
Calcular A(1,2):
A(1,2)=1^{2}+4\cdot2^{2}+2\cdot1\cdot2\;e^{1}=1+16+4e=17+4e.
Calcular A_x(1,2) usando a expressão do Passo 3:
A_x(1,2)=2\cdot1+2\cdot2\,e+4\cdot2^{2}\cdot1^{2\cdot2}\,e =2+4e+16e=2+20e.
Calcular A_y(1,2) usando a expressão do Passo 4 (lembrando que \ln 1=0, então o último termo some):
A_y(1,2)=8\cdot2+2\cdot1\,e+0=16+2e.
Agora
f_x(1,2)=\frac{1}{2\sqrt{17+4e}}\;(2+20e) =\frac{2+20e}{2\sqrt{17+4e}} =\frac{1+10e}{\sqrt{17+4e}}.
f_y(1,2)=\frac{1}{2\sqrt{17+4e}}\;(16+2e) =\frac{16+2e}{2\sqrt{17+4e}} =\frac{8+e}{\sqrt{17+4e}}.

Passo 7

Resumo final e interpretação rápida: os cálculos usaram regra da cadeia para a raiz, regra do produto para o termo 2xy\,e^{x^{2y}} e diferenciação de x^{2y} via x^{2y}=e^{2y\ln x}. Em (1,2) muitas simplificações ocorreram porque 1^{\text{qualquer}}=1 e \ln 1=0, o que deixou as expressões finais relativamente simples.

Resposta

f_x(1,2)=\frac{1+10e}{\sqrt{17+4e}}
f_y(1,2)=\frac{8+e}{\sqrt{17+4e}}

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