Aqui A_x e A_y são as derivadas parciais de A em relação a x e y. A ideia é: a derivada de \sqrt{u} em relação a u é \dfrac{1}{2\sqrt{u}}, e daí multiplicamos pela derivada do que está dentro (regra da cadeia).
Para derivar termos como 2xy\,e^{x^{2y}} vamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para e^{x^{2y}}.
Para derivar x^{2y} em relação a x ou y é prático reescrever x^{2y}=e^{2y\ln x} e diferenciar. Assim:
Resumo final e interpretação rápida: os cálculos usaram regra da cadeia para a raiz, regra do produto para o termo 2xy\,e^{x^{2y}} e diferenciação de x^{2y} via x^{2y}=e^{2y\ln x}. Em (1,2) muitas simplificações ocorreram porque 1^{\text{qualquer}}=1 e \ln 1=0, o que deixou as expressões finais relativamente simples.