(Valor 1,5) Calcule as derivadas parciais indicadas:
f(x, y, z)=z^{2} \ln \left(x^{2} y \cos (3 z)\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais indicadas da função
f(x,y,z)=z^{2}\ln\bigl(x^{2}y\cos(3z)\bigr).
As perguntas concretas são:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A expressão explícita de f(x,y,z) acima.
  • Observação de domínio (importante para a definição do log): o argumento do log deve ser positivo, ou seja x^{2}y\cos(3z)>0. (Não é preciso usar isso para derivar, mas vale saber onde a função está definida.)

Passo 2

Lembrete didático sobre derivadas parciais (fórmula e ideia): quando calculamos a derivada parcial em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes. Em particular:
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x} tratamos y e z como constantes.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial y} tratamos x e z como constantes.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial z} tratamos x e y como constantes.
Também vamos usar estas regras básicas de diferenciação:
  • Derivada de \ln(u) em relação à variável t: \dfrac{d}{dt}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}, onde u' é a derivada de u em relação a t.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dt}(a(t)b(t))=a'(t)b(t)+a(t)b'(t).
  • Derivada de \cos(v): \dfrac{d}{dt}\cos(v)=-\sin(v)\,v' (regra da cadeia).
  • Derivada de x^{2} em relação a x é 2x.

Passo 3

Para simplificar a escrita, defina internamente (apenas para cálculo)
u(x,y,z)=x^{2}y\cos(3z),
de modo que
f(x,y,z)=z^{2}\ln\bigl(u(x,y,z)\bigr).
Vamos calcular as derivadas parciais de u em relação a x,y,z, pois aparecerão na fórmula da derivada do log.
Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial x}:
u=x^{2}y\cos(3z)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x}=2x\cdot y\cos(3z).
Explicação: y e \cos(3z) são constantes ao derivar em relação a x; deriva-se x^{2} como 2x.
Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial y}:
\frac{\partial u}{\partial y}=x^{2}\cos(3z).
Explicação: x^{2} e \cos(3z) são constantes ao derivar em relação a y; deriva-se y como 1.
Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial z}:
\frac{\partial u}{\partial z}=x^{2}y\cdot\frac{d}{dz}\cos(3z)=x^{2}y\cdot\bigl(-\sin(3z)\bigr)\cdot 3=-3x^{2}y\sin(3z).
Explicação: aplicou-se a regra da cadeia: derivada de \cos(3z) é -\sin(3z) vezes a derivada de 3z, que é 3.

Passo 4

Agora calculemos \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Usamos que f=z^{2}\ln(u) e, para derivar em x, z^{2} é tratado como constante multiplicativo. Assim:
\frac{\partial f}{\partial x}=z^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\ln(u)=z^{2}\cdot\frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial x}.
Substituindo u e \dfrac{\partial u}{\partial x} obtidos:
\frac{\partial f}{\partial x}=z^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}y\cos(3z)}\cdot\bigl(2x\,y\cos(3z)\bigr).
Agora simplificamos cancelando y\cos(3z):
\frac{\partial f}{\partial x}=z^{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}}=z^{2}\cdot\frac{2}{x}=\frac{2z^{2}}{x}.

Passo 5

Agora calculemos \dfrac{\partial f}{\partial y}.
De forma análoga,
\frac{\partial f}{\partial y}=z^{2}\cdot\frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial y} = z^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}y\cos(3z)}\cdot\bigl(x^{2}\cos(3z)\bigr).
Cancelando x^{2}\cos(3z) obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}=z^{2}\cdot\frac{1}{y}=\frac{z^{2}}{y}.

Passo 6

Finalmente calculemos \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Agora é necessário usar a regra do produto porque f(z)=z^{2}\ln(u(z)) (aqui u depende de z). Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial z}= \frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}\bigr)\cdot\ln(u) + z^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial z}\ln(u).
A derivada de z^{2} é 2z. E \dfrac{\partial}{\partial z}\ln(u)=\dfrac{1}{u}\dfrac{\partial u}{\partial z}. Portanto:
\frac{\partial f}{\partial z}=2z\ln(u) + z^{2}\cdot\frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial z}.
Substituindo u=x^{2}y\cos(3z) e \dfrac{\partial u}{\partial z}=-3x^{2}y\sin(3z):
\frac{\partial f}{\partial z}=2z\ln\bigl(x^{2}y\cos(3z)\bigr) + z^{2}\cdot\frac{-3x^{2}y\sin(3z)}{x^{2}y\cos(3z)}.
Simplificando a fração (cancela x^{2}y):
\frac{\partial f}{\partial z}=2z\ln\bigl(x^{2}y\cos(3z)\bigr) -3z^{2}\cdot\frac{\sin(3z)}{\cos(3z)}.
Reconhecendo \dfrac{\sin(3z)}{\cos(3z)}=\tan(3z), obtemos a forma final:
\frac{\partial f}{\partial z}=2z\ln\bigl(x^{2}y\cos(3z)\bigr)-3z^{2}\tan(3z).

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{2z^{2}}{x}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{z^{2}}{y}
\dfrac{\partial f}{\partial z}=2z\ln\bigl(x^{2}y\cos(3z)\bigr)-3z^{2}\tan(3z)

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