(Valor 1,5) Calcule as derivadas parciais indicadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais indicadas da função
As perguntas concretas são:
- Calcular
. - Calcular
. - Calcular
.
Informações dadas que vamos usar:
- A expressão explícita de
acima. - Observação de domínio (importante para a definição do log): o argumento do log deve ser positivo, ou seja
. (Não é preciso usar isso para derivar, mas vale saber onde a função está definida.)
Passo 2
Lembrete didático sobre derivadas parciais (fórmula e ideia): quando calculamos a derivada parcial em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes. Em particular:
- Para
tratamos e como constantes. - Para
tratamos e como constantes. - Para
tratamos e como constantes.
Também vamos usar estas regras básicas de diferenciação:
- Derivada de
em relação à variável : , onde é a derivada de em relação a . - Regra do produto:
. - Derivada de
: (regra da cadeia). - Derivada de
em relação a é .
Passo 3
Para simplificar a escrita, defina internamente (apenas para cálculo)
de modo que
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
, pois aparecerão na fórmula da derivada do log.
Cálculo de
:
Explicação:
e
são constantes ao derivar em relação a
; deriva-se
como
.
Cálculo de
:
Explicação:
e
são constantes ao derivar em relação a
; deriva-se
como
.
Cálculo de
:
Explicação: aplicou-se a regra da cadeia: derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 4
Agora calculemos
.
Usamos que
e, para derivar em
,
é tratado como constante multiplicativo. Assim:
Substituindo
e
obtidos:
Agora simplificamos cancelando
:
Passo 5
Agora calculemos
.
De forma análoga,
Cancelando
obtemos
Passo 6
Finalmente calculemos
.
Agora é necessário usar a regra do produto porque
(aqui
depende de
). Aplicando a regra do produto:
A derivada de
é
. E
. Portanto:
Substituindo
e
:
Simplificando a fração (cancela
):
Reconhecendo
, obtemos a forma final: