(valor: 2,0 ) A função d(x, y)=\frac{50}{x^{2}+y^{2}+1} representa a profundidade (em metros) de um lago em uma determinada região. Um barco está na posição P=(1,2). Responda o que se pede.
(a) Qual é a profundidade do lago na posição em que o barco se encontra?
(b) Em que direção o barco deve seguir para atingir a taxa de aumento máxima de profundidade possível?
(c) Indique uma direção (não nula) que o barco pode seguir de modo a permanecer na mesma profundidade.

Passo 1

O enunciado define a profundidade de um lago por
d(x,y)=\frac{50}{x^{2}+y^{2}+1}
e posiciona o barco em P=(1,2). Vamos:
  1. Calcular d(1,2).
  2. Usar o gradiente de d para achar a direção de máxima taxa de aumento de profundidade.
  3. Encontrar uma direção em que a derivada direcional seja zero (ou seja, permanecer na mesma profundidade).

Passo 2

Para o item (a), basta substituir x=1 e y=2 em d(x,y). Assim,
d(1,2)=\frac{50}{1^{2}+2^{2}+1}=\frac{50}{6}=\frac{25}{3}.

Passo 3

Precisamos do gradiente de d. Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial d}{\partial x} =-\frac{50\cdot2x}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}} =-\frac{100\,x}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}},
\frac{\partial d}{\partial y} =-\frac{100\,y}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}}.
Logo,
\nabla d(x,y)=\biggl(-\frac{100\,x}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}},\,-\frac{100\,y}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}}\biggr).
Em P=(1,2) temos x^{2}+y^{2}+1=6, então
\nabla d(1,2) =\Bigl(-\tfrac{100\cdot1}{6^{2}},\,-\tfrac{100\cdot2}{6^{2}}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{100}{36},\,-\tfrac{200}{36}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{25}{9},\,-\tfrac{50}{9}\Bigr).

Passo 4

A direção de máxima taxa de aumento de profundidade é a direção do gradiente em P. Tomando o vetor unitário correspondente:
o módulo de \nabla d(1,2) é
\bigl\|\nabla d(1,2)\bigr\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{25}{9}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{50}{9}\Bigr)^{2}} =\frac{25}{9}\sqrt{1+4} =\frac{25\sqrt{5}}{9}.
Então o vetor unitário na direção do gradiente é
\frac{\nabla d(1,2)}{\|\nabla d(1,2)\|} =\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt5},\,-\tfrac{2}{\sqrt5}\Bigr).

Passo 5

Para permanecer na mesma profundidade, a derivada direcional deve ser zero, ou seja, o vetor de direção deve ser ortogonal ao gradiente. Se v=(a,b), exigimos
\nabla d(1,2)\cdot v =-\tfrac{25}{9}\,a \;-\;\tfrac{50}{9}\,b=0 \quad\Longrightarrow\quad 25a+50b=0 \quad\Longrightarrow\quad a+2b=0.
Uma escolha simples é a=2, b=-1, gerando o vetor
\bigl(2,-1\bigr). Opcionalmente, podemos normalizá-lo para
\bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5}\bigr).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{25}{3}.
(b) Na direção do gradiente de d em P, por exemplo no vetor unitário
\displaystyle \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt5},-\tfrac{2}{\sqrt5}\bigr).
(c) Qualquer vetor ortogonal ao gradiente, por exemplo
\displaystyle (2,-1)
ou, normalizado,
\displaystyle \bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5}\bigr).

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