(valor: 2,0) A função d(x, y)=\frac{50}{x^{2}+y^{2}+1} representa a profundidade (em metros) de um lago em uma determinada região. Um barco está na posição P=(1,2). Responda o que se pede.
(a) Qual é a profundidade do lago na posição em que o barco se encontra?
(b) Em que direção o barco deve seguir para atingir a taxa de aumento máxima de profundidade possível?
(c) Indique uma direção (não nula) que o barco pode seguir de modo a permanecer na mesma profundidade.
Passo 1
O enunciado define a profundidade de um lago por
d(x,y)=\frac{50}{x^{2}+y^{2}+1}
e posiciona o barco em P=(1,2). Vamos:
Calcular d(1,2).
Usar o gradiente de d para achar a direção de máxima taxa de aumento de profundidade.
Encontrar uma direção em que a derivada direcional seja zero (ou seja, permanecer na mesma profundidade).
Passo 2
Para o item (a), basta substituir x=1 e y=2 em d(x,y). Assim,
A direção de máxima taxa de aumento de profundidade é a direção do gradiente em P. Tomando o vetor unitário correspondente:
o módulo de \nabla d(1,2) é
Para permanecer na mesma profundidade, a derivada direcional deve ser zero, ou seja, o vetor de direção deve ser ortogonal ao gradiente. Se v=(a,b), exigimos
\nabla d(1,2)\cdot v =-\tfrac{25}{9}\,a \;-\;\tfrac{50}{9}\,b=0 \quad\Longrightarrow\quad 25a+50b=0 \quad\Longrightarrow\quad a+2b=0.
Uma escolha simples é a=2, b=-1, gerando o vetor \bigl(2,-1\bigr). Opcionalmente, podemos normalizá-lo para \bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5}\bigr).
Resposta
(a) \displaystyle \frac{25}{3}.
(b) Na direção do gradiente de d em P, por exemplo no vetor unitário \displaystyle \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt5},-\tfrac{2}{\sqrt5}\bigr).
(c) Qualquer vetor ortogonal ao gradiente, por exemplo \displaystyle (2,-1)
ou, normalizado, \displaystyle \bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5}\bigr).