(valor: 1,5 ) Seja f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{aligned}\right.
(a) A função f é contínua em (0,0) ?
(b) A função f é diferenciável em (0,0) ?
e pergunta se f é contínua e diferenciável em (0,0). Para isso vamos usar o conceito de limite em várias direções (continuidade) e lembrar que diferenciabilidade implica continuidade.
Passo 2
Para testar a continuidade, calculamos \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) por duas curvas:
Como o limite depende do caminho, não há limite único, e f não é contínua em (0,0).
Passo 3
Como diferenciabilidade em um ponto exige continuidade nesse ponto, e vimos que f não é contínua em (0,0), concluímos imediatamente que f também não é diferenciável em (0,0).