(valor: 1,5 ) Seja f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{aligned}\right.
(a) A função f é contínua em (0,0) ?
(b) A função f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y) = \begin{cases} \displaystyle \frac{2xy^2}{x^2 + y^4}, & (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pergunta se f é contínua e diferenciável em (0,0). Para isso vamos usar o conceito de limite em várias direções (continuidade) e lembrar que diferenciabilidade implica continuidade.

Passo 2

Para testar a continuidade, calculamos \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) por duas curvas:
  1. Na reta y=0 temos
f(x,0)=\frac{2x\cdot0^2}{x^2+0^4}=0,
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\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=0}f(x,y)=0.
  1. Na parábola x=y^2 temos
f(y^2,y) =\frac{2\,(y^2)\,y^2}{(y^2)^2 + y^4} =\frac{2y^4}{y^4 + y^4} =\frac{2y^4}{2y^4}=1,
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\lim_{(x,y)\to(0,0),\,x=y^2}f(x,y)=1\neq0.
Como o limite depende do caminho, não há limite único, e f não é contínua em (0,0).

Passo 3

Como diferenciabilidade em um ponto exige continuidade nesse ponto, e vimos que f não é contínua em (0,0), concluímos imediatamente que f também não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) Não.
(b) Não.

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