(valor: 1,5) A função h(x, y)=e^x y^2 representa a altura em uma região. Marcelo e Flávio estão na posição P=(1,3) e desejam se mover para uma área mais baixa. Marcelo escolhe a direção do vetor u=(-1,1) e Flávio escolhe a direção do vetor v=(1raiz5, -2raiz5). Qual deles alcançará uma altura mais baixa?

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x,y)=e^x y^2
que representa a altura em cada ponto (x,y). Em P=(1,3), Marcelo escolhe a direção vec u=(-1,1) e Flávio escolhe vec v=l(tfrac1raiz5,-tfrac2raiz5r). Queremos saber quem desce mais rápido, isto é, em qual direção a derivada direcional de h é mais negativa. Para isso vamos usar o gradiente e a definição de derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
hx = partialpartial xe^x y^2 = y^2e^x y^2, hy = partialpartial ye^x y^2 = 2xy,e^x y^2
Em P=(1,3) temos y^2=9, 2xy=6 e e^xy^2=e^9. Logo
nabla h(1,3) = l(9e^9,,6e^9r)

Passo 3

Para Marcelo, primeiro normalizamos vec u:
|vec u| = raiz(-1)^2+1^2 = raiz2, hat u = 1raiz2(-1,1)
A derivada direcional é
Dhat uh = nabla h(1,3)cdothat u = 9e^9l(-tfrac1raiz2r) + 6e^9l(tfrac1raiz2r) = -3e^9raiz2

Passo 4

Para Flávio, vec v já é unitário, então
Dvec vh = nabla h(1,3)cdotvec v = 9e^9l(tfrac1raiz5r) + 6e^9l(-tfrac2raiz5r) = -3e^9raiz5

Passo 5

Comparando
-3e^9raiz2 e -3e^9raiz5,
vemos que tfrac1raiz2>tfrac1raiz5, logo -tfrac3e^9raiz2 é mais negativo. Isso significa que em direção a vec u a altura decresce mais rapidamente.

Resposta

Marcelo.

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