Encontre a solução da equação y^prime=-6x^2-6x y+y^2 que satisfaz y(1)=3 sabendo que phi(x)=6x é solução desta equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Riccati
y' = -6x^2 - 6x,y + y^2
e informa que phi(x)=tfrac6x é uma solução particular. Queremos encontrar a solução geral que satisfaz y(1)=3. Para isso, usaremos a substituição padrão para Riccati
y = phi + 1v
que reduz o problema a uma equação linear de primeira ordem em v.

Passo 2

Na forma padrão y' = a(x),y^2 + b(x),y + c(x) temos
a(x)=1, b(x)=-6x, c(x)=-6x^2
A substituição y=phi+tfrac1v leva à equação linear
v' + l(2,a,phi + br),v + a = 0
Como phi(x)=tfrac6x, calcula-se
2,a,phi + b = 2cdot1cdot6x - 6x = 6x
Logo a equação para v é
v' + 6x,v + 1 = 0

Passo 3

Para resolver
v' + 6x,v = -1
usamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral 6x,dxr) = x^6
Multiplicando ambos os lados por x^6 obtemos
(x^6v)' = -,x^6
Integrando em x
x^6v = -x^77 + C,
portanto
v = -x7 + C,x^-6

Passo 4

Voltando à variável y, temos
y = 6x + 1v = 6x + 1-tfracx7 + C,x^-6 = 6x + x^6C - tfracx^77 = 6x + 7,x^67C - x^7

Passo 5

Impondo a condição inicial y(1)=3, obtemos
3 = 61 + 7cdot1^67C - 1 = 6 + 77C - 1 ;Longrightarrow; 77C - 1 = -3 ;Longrightarrow; 7C - 1 = -73 ;Longrightarrow; 7C = 1 - 73 = -43
Logo 7C=-tfrac43 e a solução fica
y(x) = 6x + 7,x^6-tfrac43 - x^7 = 6x - 21,x^64 + 3,x^7 = 3,(8 - x^7)x,(4 + 3,x^7)

Resposta

y(x) = 3,(8 - x^7)x,l(4 + 3,x^7r)

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