Encontre a solução da equação
que satisfaz
sabendo que
é solução desta equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Riccati
e informa que
é uma solução particular. Queremos encontrar a solução geral que satisfaz
. Para isso, usaremos a substituição padrão para Riccati
que reduz o problema a uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 2
Na forma padrão
temos
A substituição
leva à equação linear
Como
, calcula-se
Logo a equação para
é
Passo 3
Para resolver
usamos o fator integrante
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Integrando em
dá
portanto
Passo 4
Voltando à variável
, temos
Passo 5
Impondo a condição inicial
, obtemos
Logo
e a solução fica