O valor de \hat{k} \cdot(\hat{k} \times \hat{i}) é
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 0
\bigcirc b. +1
\bigcirc c. -1
\bigcirc d. 3
\bigcirc e. \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor de \hat{k}\cdot(\hat{k}\times\hat{i}). Informações relevantes dadas (implícitas no uso de \hat{i},\hat{j},\hat{k}):
  • \hat{i},\hat{j},\hat{k} são os vetores unitários padrão de um sistema cartesiano (vetores ortonormais).
  • Queremos o produto escalar entre \hat{k} e o produto vetorial \hat{k}\times\hat{i}.
    Não vou resolver ainda aqui — só deixei claro o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Lembra o que é produto vetorial (cross product)? Para dois vetores \vec{a} e \vec{b}:
  • \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a ambos \vec{a} e \vec{b}.
  • A orientação é dada pela regra da mão direita.
    No sistema padrão temos as identidades cíclicas (direção direita):
\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k},\qquad \hat{j}\times\hat{k}=\hat{i},\qquad \hat{k}\times\hat{i}=\hat{j}.
Essas identidades vêm da definição e da regra da mão direita.

Passo 3

Vamos calcular explicitamente \hat{k}\times\hat{i}. Usando determinante com as componentes \hat{i}=(1,0,0), \hat{j}=(0,1,0), \hat{k}=(0,0,1):
\hat{k}\times\hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0\cdot0-1\cdot0)\hat{i} - (0\cdot0-1\cdot1)\hat{j} + (0\cdot0-0\cdot1)\hat{k}.
Fazendo as contas dentro do determinante:
\hat{k}\times\hat{i} = 0\cdot\hat{i} -(-1)\cdot\hat{j} + 0\cdot\hat{k} = \hat{j}.
Conferindo com a identidade cíclica: \hat{k}\times\hat{i}=\hat{j}.

Passo 4

Agora lembra o que é produto escalar (dot product)? Para vetores \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
No caso dos vetores unitários ortonormais:
\hat{i}\cdot\hat{i}=\hat{j}\cdot\hat{j}=\hat{k}\cdot\hat{k}=1, \qquad \hat{i}\cdot\hat{j}=\hat{i}\cdot\hat{k}=\hat{j}\cdot\hat{k}=0.
Produto escalar mede “quanto um projeta no outro”; vetores perpendiculares têm produto escalar zero.

Passo 5

Substituindo o resultado do produto vetorial na expressão pedida:
\hat{k}\cdot(\hat{k}\times\hat{i})=\hat{k}\cdot\hat{j}.
Como \hat{k} e \hat{j} são perpendiculares (vetores ortonormais), o produto escalar é zero:
\hat{k}\cdot\hat{j}=0.
Observação extra (intuitiva): \hat{k}\times\hat{i} é perpendicular a \hat{k}, então o produto escalar com \hat{k} dá zero — ou seja, a componente de um vetor perpendicular ao outro é nula.

Resposta

a. 0

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