4- Qual o valor de
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da integral dupla
Informações dadas:
- O integrando é
. - As variáveis estão limitadas por
e . - O enunciado apresenta alternativas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
Passo 2
Interpretação da região de integração no plano
.
A condição
implica, ao elevar ao quadrado,
, ou seja
Como
varia de
a
e
é não negativa, a região de integração é o quarto de disco (primeiro quadrante) centrado na origem com raio
:
quando pensado em coordenadas polares. Observação importante: o integrando depende de
, o que sugere que uma mudança para coordenadas polares será conveniente.
Passo 3
Explicação e definição da mudança para coordenadas polares.
Vamos usar as coordenadas polares porque a região é circular (parte de um disco) e o integrando envolve
. As fórmulas da transformação são:
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
. O elemento de área
transforma-se em
; isto é o Jacobiano da transformação polar. Explicando isso de forma simples: pequenos retângulos em
viram pequenos setores cujo área é aproximadamente
.
Para nossa região:
varia de
até
(raio do disco) e
varia de
até
(primeiro quadrante).
Passo 4
Reescrever a integral em coordenadas polares.
No integrando substituímos
, então
. Substituindo também
, a integral fica:
Passo 5
Cálculo da integral interna em
.
Calcular
Fazemos a substituição
. Então
, ou seja
. Assim,
A primitiva de
é
. Então
Agora aplicamos os limites
a
:
Avaliações:
- Para
: então . - Para
: então (ou diretamente ).
Portanto
Passo 6
Cálculo da integral externa em
e resultado final.
Agora a integral completa é
Integrando em
:
Passo 7
Comparação com as alternativas e conclusão.
O valor obtido
corresponde à alternativa (c).