4- Qual o valor de \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} d y d x ?
(a) \frac{45 \pi}{2}
(b) \frac{27 \pi}{2}
(c) \frac{9 \pi}{2}
(d) \frac{3 \pi}{2}
(e) NRA

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da integral dupla
\int_{0}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}.
  • As variáveis estão limitadas por 0\le x\le 3 e 0\le y\le \sqrt{9-x^{2}}.
  • O enunciado apresenta alternativas:
    (a) \dfrac{45\pi}{2}
    (b) \dfrac{27\pi}{2}
    (c) \dfrac{9\pi}{2}
    (d) \dfrac{3\pi}{2}
    (e) NRA

Passo 2

Interpretação da região de integração no plano xy.
A condição 0\le y\le \sqrt{9-x^{2}} implica, ao elevar ao quadrado, 0\le y^{2}\le 9-x^{2}, ou seja
x^{2}+y^{2}\le 9.
Como x varia de 0 a 3 e y é não negativa, a região de integração é o quarto de disco (primeiro quadrante) centrado na origem com raio 3:
\{(x,y)\mid 0\le r\le 3,\;0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}\}
quando pensado em coordenadas polares. Observação importante: o integrando depende de x^{2}+y^{2}, o que sugere que uma mudança para coordenadas polares será conveniente.

Passo 3

Explicação e definição da mudança para coordenadas polares.
Vamos usar as coordenadas polares porque a região é circular (parte de um disco) e o integrando envolve x^{2}+y^{2}. As fórmulas da transformação são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. O elemento de área dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta; isto é o Jacobiano da transformação polar. Explicando isso de forma simples: pequenos retângulos em x,y viram pequenos setores cujo área é aproximadamente r\,dr\,d\theta.
Para nossa região: r varia de 0 até 3 (raio do disco) e \theta varia de 0 até \tfrac{\pi}{2} (primeiro quadrante).

Passo 4

Reescrever a integral em coordenadas polares.
No integrando substituímos x^{2}+y^{2}=r^{2}, então \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}=\sqrt{9-r^{2}}. Substituindo também dx\,dy=r\,dr\,d\theta, a integral fica:
\int_{0}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\,dy\,dx = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{3}\sqrt{9-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Cálculo da integral interna em r.
Calcular
\int_{r=0}^{3} r\sqrt{9-r^{2}}\,dr.
Fazemos a substituição u=9-r^{2}. Então du=-2r\,dr, ou seja r\,dr=-\dfrac{1}{2}\,du. Assim,
\int r\sqrt{9-r^{2}}\,dr = \int \sqrt{u}\left(-\dfrac{1}{2}\,du\right) = -\dfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.
A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Então
\int r\sqrt{9-r^{2}}\,dr = -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}u^{3/2} = -\dfrac{1}{3}u^{3/2} = -\dfrac{1}{3}(9-r^{2})^{3/2}.
Agora aplicamos os limites r=0 a r=3:
\int_{0}^{3} r\sqrt{9-r^{2}}\,dr = \left[-\dfrac{1}{3}(9-r^{2})^{3/2}\right]_{0}^{3}.
Avaliações:
  • Para r=3: 9-r^{2}=0 então (9-r^{2})^{3/2}=0.
  • Para r=0: 9-r^{2}=9 então (9)^{3/2}=9^{1}\cdot \sqrt{9}=27 (ou diretamente 9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27).
Portanto
\int_{0}^{3} r\sqrt{9-r^{2}}\,dr = -\dfrac{1}{3}\big(0-27\big)=9.

Passo 6

Cálculo da integral externa em \theta e resultado final.
Agora a integral completa é
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\left(\int_{r=0}^{3} r\sqrt{9-r^{2}}\,dr\right)d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 9\,d\theta.
Integrando em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}9\,d\theta = 9\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = 9\cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{9\pi}{2}.

Passo 7

Comparação com as alternativas e conclusão.
O valor obtido \dfrac{9\pi}{2} corresponde à alternativa (c).

Resposta

\dfrac{9\pi}{2} (c)

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