1- Seja R=[0,1] x[1,2] e suponha que \int_{1}^{2} f(x, y) d y=x^{3}. Qual o valor de \iint_{R} f(x, y) d A ?
(a) 1
(b) \frac{1}{2}
(c) \frac{1}{3}
(e) NRA
Passo 1
O enunciado fornece um retângulo R=[0,1]\times[1,2] no plano e a informação
\int_{1}^{2} f(x,y)\,dy = x^{3},
para cada x em [0,1]. A pergunta é: qual é o valor de \iint_{R} f(x,y)\,dA? As alternativas dadas são:
(a) 1
(b) \frac{1}{2}
(c) \frac{1}{3}
(e) NRA (nenhuma das respostas anteriores)
Passo 2
Vamos transformar a integral dupla numa integral iterada que podemos calcular passo a passo. Para funções integráveis sobre um retângulo vale o teorema de Fubini, que diz que se f for integrável em R então
Aqui dA é a notação para diferencial de área e a igualdade acima significa: primeiro integramos em y (mantendo x fixo) e depois integramos o resultado em x. Não é necessário provar Fubini agora; basta saber que nos permite trocar a integral dupla pela iterada indicada.
Passo 3
Usamos a informação que foi dada: \int_{1}^{2} f(x,y)\,dy = x^{3}. Substituindo na expressão iterada obtemos
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{0}^{1} x^{3}\,dx.
Agora precisamos calcular a integral de x^{3} no intervalo [0,1].
Passo 4
Regra básica de integração de potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando com n=3 obtemos \int x^{3}\,dx = \dfrac{x^{4}}{4}+C. Avaliando o integral definido:
Concluímos que \iint_{R} f(x,y)\,dA = \dfrac{1}{4}. Comparando com as alternativas fornecidas, \dfrac{1}{4} não aparece entre (a), (b) ou (c), portanto a alternativa correta é a opção que representa “nenhuma das anteriores”.