Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x+1}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+x+1}{e^{x}}.
O conteúdo aqui é limite no infinito com indeterminação do tipo \infty/\infty. Para resolver, vamos usar a regra de l’Hôpital, que nos diz que, se \lim f(x)=\lim g(x)=\infty, então
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que esse novo limite exista.

Passo 2

Verificamos que, ao fazermos x\to\infty, tanto x^{2}+x+1\to\infty quanto e^{x}\to\infty, gerando \infty/\infty. Aplicando l’Hôpital uma vez, derivamos numerador e denominador:
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+x+1}{e^{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{e^{x}}.

Passo 3

Ainda temos \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{e^{x}} na forma \infty/\infty. Aplicando l’Hôpital de novo:
\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{e^{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^{x}} =0,
pois e^{x} cresce muito mais rápido que a constante 2.

Resposta

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