Qual o valor da integral de linha integralC-y d x+x d y onde C é a curva y^2=3 x de (3,3) a (0,0) ?
(A) 3
(b) -3
© 9
(d) -9
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC-y , dx + x , dy, onde a curva C é definida por y^2=3x, indo do ponto (3,3) até (0,0). Isso está dentro do tópico de Cálculo de Integrais de Linha, onde vamos precisar parametrizar a curva e substituir nas expressões da integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva C. A equação dada é y^2=3x, que é uma parábola. Podemos resolver para x em termos de y:
x = y^23
Então, nossa parametrização será em termos de y, já que isso facilita aqui.

Passo 3

Agora, vamos definir os componentes da parametrização:
x(y) = y^23 y(y) = y
Precisamos também saber os limites de y. Como vamos de (3,3) a (0,0), y vai de 3 até 0.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias para substituir na integral de linha:
dxdy = 2y3 dydy = 1

Passo 5

Substituindo tudo na integral de linha:
integralC -y , dx + x , dy = integral3^0 ( -y cdot 2y3 + y^23 cdot 1 ) dy

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
integral3^0 ( -2y^23 + y^23 ) dy = integral3^0 ( -y^23 ) dy

Passo 7

Calculando a integral:
-13 integral3^0 y^2 dy = -13 [ y^33 ]3^0 = -13 ( 0 - 273 ) = -13 (-9) = 3

Resposta

O valor da integral de linha é 3.

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