Qual o valor de ointC(e^x-y^3) d x+(cos y+x^3) d y, onde C é o circulo x^2+y^2=1 no sentido anti-horário?
(a) -pi2
(B) 3 pi2
© -pi
(d) 2 pi
(e) NRA

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral de linha ointC(e^x-y^3) dx+(cos y+x^3) dy, onde C é o círculo x^2+y^2=1 percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região plana.

Passo 2

Identificamos as funções na integral de linha:
  • P = e^x - y^3
  • Q = cos y + x^3
O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde D é a região delimitada pelo caminho C.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  • partial Qpartial x = partialpartial x (cos y + x^3) = 3x^2
  • partial Ppartial y = partialpartial y (e^x - y^3) = -3y^2
Portanto:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)

Passo 4

Substituímos na integral dupla:
integral duplaD 3(x^2 + y^2) , dA
Como D é o círculo x^2+y^2=1, é mais fácil usar coordenadas polares, onde:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • x^2 + y^2 = r^2
  • Elemento de área: dA = r , dr , dtheta

Passo 5

Expressamos a integral em coordenadas polares:
3 integral duplaD r^2 , r , dr , dtheta = 3 integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta

Passo 6

Calculamos as integrais:
  1. Integral interna (em r):
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
2. Integral externa (em theta):
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
3 times 14 times 2pi = 3pi2

Resposta

O valor da integral é 3pi2, que corresponde à opção (B).

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