Qual o valor de
, onde
é o circulo
no sentido anti-horário?
(a)
(B)
©
(d)
(e) NRA
(a)
(B)
©
(d)
(e) NRA
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral de linha
, onde
é o círculo
percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região plana.
Passo 2
Identificamos as funções na integral de linha:
O Teorema de Green nos diz que:
onde
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Portanto:
Passo 4
Substituímos na integral dupla:
Como
é o círculo
, é mais fácil usar coordenadas polares, onde:
-
-
-
- Elemento de área:
Passo 5
Expressamos a integral em coordenadas polares:
Passo 6
Calculamos as integrais:
- Integral interna (em
):
2. Integral externa (em
Multiplicando tudo:
Resposta
O valor da integral é
, que corresponde à opção (B).