Qual a área da região varrida pela reta da origem até a elipse
se
variar de
até
? ( Sugestão: use a fórmula
)
(A)
(b)
©
(d)
(e) NRA
(A)
(b)
©
(d)
(e) NRA
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a área da região que é varrida pela reta que vai da origem até a elipse descrita pelas equações paramétricas
e quando o parâmetro
varia de
até
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área para curvas parametrizadas:
Isso vai nos ajudar a calcular a área desejada de forma precisa.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa cada termo na fórmula.
e
representam as derivadas de
e
em relação a
, ou seja, como
e
mudam quando
varia. Então, vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Agora que temos
e
, podemos substituir na fórmula da área.
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula:
Simplificando os termos dentro da integral:
Perceba que , então:
Resposta
A área da região varrida é
. Portanto, a alternativa correta é a (A)
.