Qual a área da região varrida pela reta da origem até a elipse x=2 cos t, y=3 sen t se t variar de t=0 até t=pi3 ? ( Sugestão: use a fórmula A=12 ointC-y d x+x d y )
(A) pi
(b) 2 pi
© 3 pi
(d) 4 pi
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a área da região que é varrida pela reta que vai da origem até a elipse descrita pelas equações paramétricas A = 12 ointC (-y , dx + x , dy) e quando o parâmetro varia de até . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área para curvas parametrizadas:
Isso vai nos ajudar a calcular a área desejada de forma precisa.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa cada termo na fórmula. e representam as derivadas de e em relação a , ou seja, como e mudam quando varia. Então, vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando as derivadas:
Agora que temos dx = ddt(2 cos t) = -2 sen t , dt e dy = ddt(3 sen t) = 3 cos t , dt , podemos substituir na fórmula da área.

Passo 4

Substituindo A = 12 integral0^pi3 ( - (3 sen t)(-2 sen t) + (2 cos t)(3 cos t) ) dt , A = 12 integral0^pi3 (6 sen^2 t + 6 cos^2 t) dt , A = 12 integral0^pi3 6 , dt = 12 times 6 times ( pi3 - 0 ) = 3 times pi3 = pi e na fórmula:
Simplificando os termos dentro da integral:
Perceba que , então:

Resposta

A área da região varrida é . Portanto, a alternativa correta é a (A) .

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