Uma força dada por F(x)=5 x^{3} \hat{i} atua sobre uma massa de 1 k g que se move sobre uma superfície sem atrito. A massa de move de x=2 m para x=6 m. (a) Quanto trabalho é realizado pela força? (b) Se a massa tem velocidade de 2 m / s em x=2 m, qual é a sua velocidade em x=6 m ? Respostas: (a) 2000 J (b) 60 m / s.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de x=2\\ \text{m} até x=6\\ \text{m}; (b) a velocidade da massa em x=6\\ \text{m} sabendo que em x=2\\ \text{m} a velocidade é 2\\ \text{m/s}.\n
As informações dadas que vamos usar são: \n
\displaystyle F(x)=5\,x^{3}\,\hat{i} (força dependente de x);\n
a massa é m=1\\ \text{kg};\n
o movimento ocorre sobre superfície sem atrito (logo nenhuma outra força dissipa energia do sistema);\n
o deslocamento vai de x_{1}=2\\ \text{m} até x_{2}=6\\ \text{m};\n
velocidade inicial em x=2\\ \text{m} é v_{1}=2\\ \text{m/s}.\n
Nada mais será assumido.

Passo 2

Conceito de trabalho para uma força que varia com a posição: quando a força é colinear ao deslocamento e depende de x, o trabalho realizado ao mover-se de x_{1} a x_{2} é a integral do componente da força na direção do deslocamento sobre x. A fórmula é
W=\int_{x_{1}}^{x_{2}}F_x(x)\,dx,
onde F_x(x) é a componente da força ao longo do eixo x. Aqui F_x(x)=5\,x^{3}. Explicando a integral de forma simples: é a soma, em partes infinitesimais, dos pequenos trabalhos F_x(x)\,dx ao longo do caminho — geometricamente, a área sob a curva F_x(x) entre x_{1} e x_{2}.

Passo 3

Como calcular a integral: usamos a regra de potência para antiderivadas. A regra diz: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso, n=3. A antiderivada de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}. Como há um fator 5 multiplicando, a antiderivada de 5x^{3} é
\frac{5}{4}x^{4}.
Agora fazemos a integral definida de x=2 até x=6:
W=\left[\frac{5}{4}x^{4}\right]_{2}^{6}=\frac{5}{4}\bigl(6^{4}-2^{4}\bigr).

Passo 4

Vamos calcular os números com calma (sem pular etapas): \n
6^{2}=36, então 6^{4}=(6^{2})^{2}=36^{2}=1296.\n
2^{4}=16.\n
Então 6^{4}-2^{4}=1296-16=1280.\n
Multiplicando por \dfrac{5}{4}:
\frac{5}{4}\cdot 1280 =5\cdot 320 =1600.
Portanto o trabalho realizado pela força no deslocamento é W=1600\\ \text{J}. (Observação: o valor dado no enunciado 2000\\ \text{J} está incorreto — o cálculo correto é o mostrado acima.)

Passo 5

Agora usamos o Teorema do Trabalho-Energia (explicação didática): o trabalho líquido realizado sobre uma partícula iguala a variação da sua energia cinética. Em fórmula:
W=\Delta K = \frac{1}{2}m v_{2}^{2}-\frac{1}{2}m v_{1}^{2},
onde m é a massa, v_{1} a velocidade inicial e v_{2} a velocidade final. Aqui não há trabalho de atrito nem outras forças não-conservativas além da força dada, então o trabalho calculado é o trabalho líquido. Queremos v_{2}, então isolamos:
\frac{1}{2}m v_{2}^{2}=\frac{1}{2}m v_{1}^{2}+W
v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+\frac{2W}{m}
v_{2}=\sqrt{v_{1}^{2}+\frac{2W}{m}}.

Passo 6

Substituímos os valores numéricos: m=1\\ \text{kg}, v_{1}=2\\ \text{m/s}, W=1600\\ \text{J}. Então
v_{2}^{2}=2^{2}+\frac{2\cdot 1600}{1}=4+3200=3204.
Logo
v_{2}=\sqrt{3204}.
Podemos simplificar a raiz exata: 3204=4\cdot 801, então
v_{2}=2\sqrt{801}\\ \text{m/s}.

Passo 7

Para obter um valor numérico prático (útil na prova), estimamos a raiz: 56^{2}=3136 e 57^{2}=3249, então \sqrt{3204} está entre 56 e 57. Uma aproximação linear dá cerca de 56,60\\ \text{m/s}. Portanto a velocidade final é aproximadamente 56,6\\ \text{m/s}. (O valor 60\\ \text{m/s} indicado no enunciado também está incorreto.)

Resposta

(a) 1600\\ \text{J}\n
(b) v_{2}=2\sqrt{801}\\ \text{m/s}\approx 56,60\\ \text{m/s}

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