Uma força dada por
atua sobre uma massa de
que se move sobre uma superfície sem atrito. A massa de move de
para
. (a) Quanto trabalho é realizado pela força? (b) Se a massa tem velocidade de
em
, qual é a sua velocidade em
? Respostas: (a)
(b)
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de
até
; (b) a velocidade da massa em
sabendo que em
a velocidade é
.\n
As informações dadas que vamos usar são: \n
(força dependente de
);\n
a massa é ;\n
o movimento ocorre sobre superfície sem atrito (logo nenhuma outra força dissipa energia do sistema);\n
o deslocamento vai de até
;\n
velocidade inicial em é
.\n
Nada mais será assumido.
As informações dadas que vamos usar são: \n
a massa é
o movimento ocorre sobre superfície sem atrito (logo nenhuma outra força dissipa energia do sistema);\n
o deslocamento vai de
velocidade inicial em
Nada mais será assumido.
Passo 2
Conceito de trabalho para uma força que varia com a posição: quando a força é colinear ao deslocamento e depende de
, o trabalho realizado ao mover-se de
a
é a integral do componente da força na direção do deslocamento sobre
. A fórmula é
onde
é a componente da força ao longo do eixo
. Aqui
. Explicando a integral de forma simples: é a soma, em partes infinitesimais, dos pequenos trabalhos
ao longo do caminho — geometricamente, a área sob a curva
entre
e
.
Passo 3
Como calcular a integral: usamos a regra de potência para antiderivadas. A regra diz: para
,
No nosso caso,
. A antiderivada de
é
. Como há um fator
multiplicando, a antiderivada de
é
Agora fazemos a integral definida de
até
:
Passo 4
Vamos calcular os números com calma (sem pular etapas): \n
, então
\n
\n
Então \n
Multiplicando por :
Então
Multiplicando por
Portanto o trabalho realizado pela força no deslocamento é
. (Observação: o valor dado no enunciado
está incorreto — o cálculo correto é o mostrado acima.)
Passo 5
Agora usamos o Teorema do Trabalho-Energia (explicação didática): o trabalho líquido realizado sobre uma partícula iguala a variação da sua energia cinética. Em fórmula:
onde
é a massa,
a velocidade inicial e
a velocidade final. Aqui não há trabalho de atrito nem outras forças não-conservativas além da força dada, então o trabalho calculado é o trabalho líquido. Queremos
, então isolamos:
Passo 6
Substituímos os valores numéricos:
,
,
. Então
Logo
Podemos simplificar a raiz exata:
, então
Passo 7
Para obter um valor numérico prático (útil na prova), estimamos a raiz:
e
, então
está entre
e
. Uma aproximação linear dá cerca de
. Portanto a velocidade final é aproximadamente
. (O valor
indicado no enunciado também está incorreto.)
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)