O valor do limite
é:
a. 2
b. 10
c.
d. 5
e.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas:
- A função no numerador é a função seno aplicada a
(o enunciado usa , que é a mesma coisa que ). - O denominador é
. - Queremos o limite quando
tende a . - As opções oferecidas são: (a)
, (b) , (c) , (d) , (e) .
Passo 2
Conceito fundamental que precisamos aqui: o limite notório do seno. A propriedade básica é
onde é crucial que o ângulo esteja em radianos. Intuição simples: para ângulos muito pequenos,
fica muito próximo de
, então a razão tende a
. Esse limite é uma ferramenta padrão para limites que envolvem
ou
quando o argumento do seno tende a zero.
Observação didática: sempre verifique se o argumento está em radianos — a identidade acima vale apenas para radianos. Em provas é comum o enunciado assumir radianos implicitamente.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para aplicar a identidade: defina
Quando
temos
também. Reescrevemos o quociente em termos de
:
Aqui eu usei que
, logo
. Agora simplificamos o denominador:
Mostrei passo a passo a manipulação algébrica para que você consiga replicar sem dúvida na prova.
Passo 4
Agora aplicamos limites. Usamos que podemos fatorar constantes fora do limite e que
. Assim
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, mas útil para prova): usar a Regra de L’Hôpital. O limite original é uma forma
, pois
e
. Derivando numerador e denominador em relação a
temos:
- derivada do numerador:
, - derivada do denominador:
.
Pelo L’Hôpital,
Essa via confirma o resultado anterior. Novamente, lembrando que tudo aqui assume radianos.
Passo 6
Resumo prático para a prova: sempre que vir
com
, faça
e obtenha fator
fora da razão
. Aqui apareceu o fator
, porque havia um
no numerador pela substituição e um
no denominador.
Força aí — você já fez a parte mais chata: reconhecer a identidade e fazer a substituição. Vai dar certo!
Resposta
c.