O valor do limite \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(5 x)}{2 x} é:
\bigcirc a. 2
\bigcirc b. 10
\bigcirc c. \frac{5}{2}
\bigcirc d. 5
\bigcirc e. \frac{2}{5}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{2x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função no numerador é a função seno aplicada a 5x (o enunciado usa \operatorname{sen}, que é a mesma coisa que \sin).
  • O denominador é 2x.
  • Queremos o limite quando x tende a 0.
  • As opções oferecidas são: (a) \,2, (b) \,10, (c) \,\dfrac{5}{2}, (d) \,5, (e) \,\dfrac{2}{5}.

Passo 2

Conceito fundamental que precisamos aqui: o limite notório do seno. A propriedade básica é
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1,
onde é crucial que o ângulo esteja em radianos. Intuição simples: para ângulos muito pequenos, \sin u fica muito próximo de u, então a razão tende a 1. Esse limite é uma ferramenta padrão para limites que envolvem \sin ou \operatorname{sen} quando o argumento do seno tende a zero.
Observação didática: sempre verifique se o argumento está em radianos — a identidade acima vale apenas para radianos. Em provas é comum o enunciado assumir radianos implicitamente.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para aplicar a identidade: defina
u=5x.
Quando x\to 0 temos u\to 0 também. Reescrevemos o quociente em termos de u:
\frac{\operatorname{sen}(5x)}{2x}=\frac{\sin u}{2\cdot (u/5)}.
Aqui eu usei que 5x=u, logo x=u/5. Agora simplificamos o denominador:
\frac{\sin u}{2\cdot (u/5)}=\frac{\sin u}{(2u)/5}=\frac{5}{2}\cdot\frac{\sin u}{u}.
Mostrei passo a passo a manipulação algébrica para que você consiga replicar sem dúvida na prova.

Passo 4

Agora aplicamos limites. Usamos que podemos fatorar constantes fora do limite e que \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1. Assim
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{2x} =\lim_{u\to0}\frac{5}{2}\cdot\frac{\sin u}{u} =\frac{5}{2}\cdot\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u} =\frac{5}{2}\cdot 1=\frac{5}{2}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, mas útil para prova): usar a Regra de L’Hôpital. O limite original é uma forma 0/0, pois \operatorname{sen}(5\cdot 0)=0 e 2\cdot 0=0. Derivando numerador e denominador em relação a x temos:
  • derivada do numerador: (\operatorname{sen}(5x))' = 5\cos(5x),
  • derivada do denominador: (2x)' = 2.
    Pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{5\cos(5x)}{2}=\frac{5\cos 0}{2}=\frac{5\cdot 1}{2}=\frac{5}{2}.
Essa via confirma o resultado anterior. Novamente, lembrando que tudo aqui assume radianos.

Passo 6

Resumo prático para a prova: sempre que vir \sin(kx)/(x) com x\to0, faça u=kx e obtenha fator k fora da razão \sin u/u. Aqui apareceu o fator \dfrac{5}{2}, porque havia um 5 no numerador pela substituição e um 2 no denominador.
Força aí — você já fez a parte mais chata: reconhecer a identidade e fazer a substituição. Vai dar certo!

Resposta

c. \dfrac{5}{2}

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