O valor do limite
é:
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- O numerador é a função valor absoluto
. - O denominador é o polinômio
. - O ponto de interesse é
.
Não vou resolver ainda — só enumerei o que o problema fornece e o que se pede.
Passo 2
Conceito útil (rápido e direto): se duas funções
e
são contínuas em um ponto
e
, então a função quociente
é contínua em
e
Vou usar essa ideia porque facilita muito: basta checar continuidade e se o denominador no ponto não é zero. Agora vou verificar cada parte do nosso caso.
Passo 3
Propriedade da função valor absoluto:
é contínua em todo número real. Polinômios também são contínuos em todo número real. Portanto:
-
é contínua em . -
é contínua em .
Passo 4
Calcular o valor do numerador em
:
Expliquei: dentro do valor absoluto ficou
; o módulo de
é
.
Passo 5
Calcular o valor do denominador em
:
Aqui obtivemos
, que é diferente de zero — ponto importante para poder usar a regra do quociente.
Passo 6
Como ambas as funções são contínuas em
e o denominador em
é diferente de zero, pelo resultado do Passo 2 podemos substituir diretamente:
Agora já calculamos esses valores nos passos anteriores.
Passo 7
Substituindo os valores calculados:
Simplifiquei a fração:
dividido por
resulta em
.
Passo 8
(Aula rápida alternativa — só para fixar) Se você preferir ver por pedaços: perto de
temos
, então
em uma vizinhança de
. Assim, para
próximo de
,
e fazendo
por substituição direta (novamente denominador não nulo) dá o mesmo resultado
. Isso confirma o raciocínio anterior.