O valor do limite \lim _{x \rightarrow-2}\left(\frac{|x-1|}{x^{2}-9}\right) é:
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-2}\left(\frac{|x-1|}{x^{2}-9}\right).
Informações dadas:
  • O numerador é a função valor absoluto |x-1|.
  • O denominador é o polinômio x^{2}-9.
  • O ponto de interesse é x=-2.
    Não vou resolver ainda — só enumerei o que o problema fornece e o que se pede.

Passo 2

Conceito útil (rápido e direto): se duas funções g e h são contínuas em um ponto a e h(a)\neq 0, então a função quociente g/h é contínua em a e
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{g(a)}{h(a)}.
Vou usar essa ideia porque facilita muito: basta checar continuidade e se o denominador no ponto não é zero. Agora vou verificar cada parte do nosso caso.

Passo 3

Propriedade da função valor absoluto: |\cdot| é contínua em todo número real. Polinômios também são contínuos em todo número real. Portanto:
  • x\mapsto |x-1| é contínua em x=-2.
  • x\mapsto x^{2}-9 é contínua em x=-2.

Passo 4

Calcular o valor do numerador em x=-2:
|(-2)-1| = |-3| = 3.
Expliquei: dentro do valor absoluto ficou -3; o módulo de -3 é 3.

Passo 5

Calcular o valor do denominador em x=-2:
(-2)^{2}-9 = 4-9 = -5.
Aqui obtivemos -5, que é diferente de zero — ponto importante para poder usar a regra do quociente.

Passo 6

Como ambas as funções são contínuas em x=-2 e o denominador em x=-2 é diferente de zero, pelo resultado do Passo 2 podemos substituir diretamente:
\lim_{x\to-2}\left(\frac{|x-1|}{x^{2}-9}\right)=\frac{|(-2)-1|}{(-2)^{2}-9}.
Agora já calculamos esses valores nos passos anteriores.

Passo 7

Substituindo os valores calculados:
\frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}.
Simplifiquei a fração: 3 dividido por -5 resulta em -\tfrac{3}{5}.

Passo 8

(Aula rápida alternativa — só para fixar) Se você preferir ver por pedaços: perto de x=-2 temos x-1<0, então |x-1|=-(x-1) em uma vizinhança de -2. Assim, para x próximo de -2,
\frac{|x-1|}{x^{2}-9}=\frac{-(x-1)}{x^{2}-9},
e fazendo x\to-2 por substituição direta (novamente denominador não nulo) dá o mesmo resultado -\tfrac{3}{5}. Isso confirma o raciocínio anterior.

Resposta

-\frac{3}{5}

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