(Valor \mathbf{= 1 , 0} ) Considere o seguinte campo de velocidade permanente, tridimensional em coordenadas cartesianas:
\vec{V}=\left(-3 x y^{2}+7\right) \vec{\imath}+8 y^{3} \vec{\jmath}+4 x y \vec{k}. Este escoamento é incompressível? Demonstre.

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade permanente em coordenadas cartesianas
\vec{V} = \bigl(-3 x y^{2} + 7\bigr)\,\vec{\imath} + 8 y^{3}\,\vec{\jmath} + 4 x y\,\vec{k}
e pergunta se esse escoamento é incompressível.
Conteúdo: vamos usar o critério de incompressibilidade, que diz que um escoamento é incompressível se, e somente se,
\nabla \cdot \vec{V} = 0
em todo o domínio.

Passo 2

Calcular a divergência de \vec{V}, ou seja
\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3 x y^{2} + 7\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(8 y^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\bigl(4 x y\bigr).
Agora obtemos cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3 x y^{2} + 7\bigr) = -3 y^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(8 y^{3}\bigr) = 24 y^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(4 x y\bigr) = 0.

Passo 3

Somando esses resultados, temos
\nabla \cdot \vec{V} = -3 y^{2} + 24 y^{2} + 0 = 21\,y^{2}.

Passo 4

Como \nabla \cdot \vec{V} = 21\,y^{2} não é identicamente zero (só anula se y=0), o escoamento não é incompressível.

Resposta

O fluxo não é incompressível, pois
\nabla \cdot \vec{V} = 21\,y^{2} \neq 0.

Exercícios relacionados