(Valor: \mathbf{3 , 5} pontos) Mercúrio a uma temperatura de volume de entrada de 90^{\circ} \mathrm{C} flui por meio de um tubo de 1,2 \mathrm{~cm} de diâmetro interno a uma taxa de fluxo de 4535 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Esse tubo é parte de um reator nuclear no qual o calor pode ser gerado uniformemente a qualquer taxa desejada, ajustando o nivel de fluxo de nêutrons. Determine o comprimento do tubo necessário para elevar a temperatura de volume do mercúrio a 230^{\circ} \mathrm{C}, sem gerar qualquer vapor de mercúrio, e determine o fluxo de calor correspondente. O ponto de ebulição de mercúrio é de 355^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

A questão trata de aquecer mercúrio líquido que escoa em um tubo de diâmetro interno D=1{,}2\;\mathrm{cm} (seção transversal A=\frac{\pi D^2}{4}) à vazão mássica \dot m=4535\;\mathrm{kg/h} desde a temperatura de entrada T_{\rm in}=90^\circ\mathrm C até T_{\rm out}=230^\circ\mathrm C. Não podemos passar de T_{\rm eb}=355^\circ\mathrm C para não vaporizar. O calor é gerado uniformemente dentro do próprio volume do mercúrio, a uma taxa volumétrica q''' (unidade \mathrm{W/m^3}), ajustável por fluxo de nêutrons. Queremos:
  1. O comprimento L do tubo necessário para esse aquecimento.
  2. A taxa total de calor (potência) requerida, \dot Q.

Passo 2

Convertemos a vazão mássica para SI:
\dot m = \frac{4535\;\mathrm{kg}}{3600\;\mathrm s} = 1{,}26\;\mathrm{kg/s}.
O mercúrio tem caloria específica aproximadamente \,c_p=140\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 3

Pela conservação de energia, o calor total necessário para elevar de 90^\circ\mathrm C a 230^\circ\mathrm C é
\dot Q \;=\;\dot m\,c_p\,(T_{\rm out}-T_{\rm in}) =\bigl(1{,}26\bigr)\,(140)\,(230-90) \approx2,46\times10^{4}\;\mathrm W \;=\;24{,}6\;\mathrm{kW}.

Passo 4

Esse calor \dot Q provém da geração volumétrica q''' ao longo de todo o volume do mercúrio no tubo. Se o comprimento do tubo é L, o volume é A\,L com
A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi\,(0,012)^2}{4}\approx1{,}13\times10^{-4}\;\mathrm{m^2}.
Então
\dot Q \;=\;q'''\,A\,L.

Passo 5

Isolando L, obtemos
L \;=\;\frac{\dot Q}{q'''\,A} =\frac{2,46\times10^{4}}{q'''\,\bigl(1,13\times10^{-4}\bigr)} \approx\frac{2,17\times10^{8}}{q'''}\quad[\mathrm m].
Por outro lado, se quisermos a taxa de geração volumétrica q''' necessária para um dado L, basta inverter:
q'''=\frac{\dot Q}{A\,L} =\frac{2,46\times10^{4}}{1,13\times10^{-4}\;L} \approx\frac{2,17\times10^{8}}{L}\quad[\mathrm{W/m^3}].

Resposta

Comprimento do tubo (em função da taxa volumétrica de geração q'''):
\boxed{L=\frac{2,17\times10^{8}}{q'''}\;\mathrm{m}.}
Potência de aquecimento total:
\boxed{\dot Q=2,46\times10^{4}\;\mathrm W\;(24{,}6\;\mathrm{kW}).}

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