(Valor: \mathbf{0 , 5} pt.) Encontre, a partir da forma diferencial do potencial de um dipólo fundamental,
d V(r)=\frac{d \vec{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|^{3}} \cdot\left(\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right)
calculado num ponto qualquer do espaço,localizado pelo vetor \vec{r}, as densidades de cargas de polarização (superficial e volumétrica). Considere também, que o vetor de polarização é definido como \overrightarrow{\mathcal{P}}=\frac{d \vec{p}}{d \text { vol }}.
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão diferencial do potencial criado por um dipólo elementar localizado em \overrightarrow{r^{\prime}} e observando o potencial num ponto \vec{r}:
ou seja, d\vec{p}=\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})\,d^{3}r^{\prime}.
O que o exercício pede: encontrar as densidades de carga de polarização (volumétrica e superficial) associadas a um meio polarizado.
Informações relevantes a listar:
\vec{r} é o ponto onde se calcula o potencial (campo externo).
\overrightarrow{r^{\prime}} é a posição do elemento dipolar (variável de integração).
\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}}) é o vetor de polarização (função da posição dentro do material).
Usar as identidades de cálculo vetorial e o teorema da divergência quando necessário.
Passo 2
Escrever o potencial total produzido por todo o volume polarizado integrando dV sobre o volume V_{\text{mat}} do corpo polarizado. Substituindo d\vec{p}=\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})\,d^{3}r^{\prime} obtemos:
Aplicar o teorema da divergência (também chamado de teorema de Gauss) ao primeiro termo do integrando: para um volume V_{\text{mat}} com superfície S de contorno e vetor normal externo \hat{n},
Comparando termo a termo com a expressão obtida para o potencial devido à polarização, identifica-se que a polarização age como se houvesse densidades efetivas de carga dadas por:
termo volumétrico: corresponde a \rho_{\text{pol}}(\overrightarrow{r^{\prime}}) tal que seu potencial é o segundo integral; como no potencial aparece -\nabla'\cdot\overrightarrow{\mathcal{P}} multiplicando 1/|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}|, concluímos
termo superficial: corresponde a \sigma_{\text{pol}}(\overrightarrow{r^{\prime}}) tal que seu potencial é o primeiro integral; nele aparece \overrightarrow{\mathcal{P}}\cdot\hat{n} multiplicando 1/|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}|, portanto
Interpretação física e resumo didático (como usar na prova):
\overrightarrow{\mathcal{P}}(\vec{r}) é o momento dipolar por unidade de volume no ponto \vec{r}. Se \overrightarrow{\mathcal{P}} varia no interior do material, a divergência \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{P}} é, com sinal trocado, uma densidade volumétrica de cargas ligadas: pontos onde há “terminação” de dipolos aparecem como cargas ligadas volumétricas.
Em superfícies onde o material termina abruptamente, existe uma densidade superficial de cargas ligadas igual ao componente normal de \overrightarrow{\mathcal{P}} no contorno: isto corresponde à acumulação de cargas na superfície devido aos dipolos que têm uma componente na direção normal.
Na hora da prova: comece escrevendo o potencial integrado a partir do dipólo elementar, use a identidade \nabla'\varphi=(\vec{r}-\vec{r'})/|\vec{r}-\vec{r'}|^{3}, depois a identidade vetorial \nabla'\cdot(\varphi\overrightarrow{\mathcal{P}})=\varphi\nabla'\cdot\overrightarrow{\mathcal{P}}+\overrightarrow{\mathcal{P}}\cdot\nabla'\varphi e por fim o teorema de Gauss para transformar o volume em superfície. Isso leva direto às fórmulas das densidades ligadas.