1. (Valor: \mathbf{0 , 5} pt.) Encontre, a partir da forma diferencial do potencial de um dipólo fundamental,
d V(r)=\frac{d \vec{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|^{3}} \cdot\left(\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right)
calculado num ponto qualquer do espaço,localizado pelo vetor \vec{r}, as densidades de cargas de polarização (superficial e volumétrica). Considere também, que o vetor de polarização é definido como \overrightarrow{\mathcal{P}}=\frac{d \vec{p}}{d \text { vol }}.

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão diferencial do potencial criado por um dipólo elementar localizado em \overrightarrow{r^{\prime}} e observando o potencial num ponto \vec{r}:
dV(\vec{r})=\frac{d\vec{p}}{4\pi\varepsilon_{0}\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|^{3}}\cdot\left(\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right).
Também é dada a definição do vetor de polarização como
\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})=\frac{d\vec{p}}{d\text{vol}},
ou seja, d\vec{p}=\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})\,d^{3}r^{\prime}.
O que o exercício pede: encontrar as densidades de carga de polarização (volumétrica e superficial) associadas a um meio polarizado.
Informações relevantes a listar:
  • \vec{r} é o ponto onde se calcula o potencial (campo externo).
  • \overrightarrow{r^{\prime}} é a posição do elemento dipolar (variável de integração).
  • \overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}}) é o vetor de polarização (função da posição dentro do material).
  • Usar as identidades de cálculo vetorial e o teorema da divergência quando necessário.

Passo 2

Escrever o potencial total produzido por todo o volume polarizado integrando dV sobre o volume V_{\text{mat}} do corpo polarizado. Substituindo d\vec{p}=\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})\,d^{3}r^{\prime} obtemos:
V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{V_{\text{mat}}}\frac{\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})\cdot(\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}})}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|^{3}}\,d^{3}r^{\prime}.
Agora vou manipular o integrando usando uma identidade útil. Defina a função
\varphi(\overrightarrow{r^{\prime}})=\frac{1}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}.
É importante saber a derivada de \varphi em relação a \overrightarrow{r^{\prime}}. Uma conta rápida (cadeia e gradiente) mostra que
\nabla' \varphi(\overrightarrow{r^{\prime}})=\nabla' \left(\frac{1}{|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}|}\right)=\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|^{3}}.
Portanto o numerador do integrando pode ser escrito como produto escalar com esse gradiente:
\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})\cdot\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|^{3}} =\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})\cdot\nabla'\varphi(\overrightarrow{r^{\prime}}).
Assim o potencial fica
V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{V_{\text{mat}}}\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})\cdot\nabla'\varphi(\overrightarrow{r^{\prime}})\,d^{3}r^{\prime}.

Passo 3

Usar a identidade vetorial que relaciona divergência e produto escalar:
\nabla'\cdot\big(\varphi\overrightarrow{\mathcal{P}}\big) =\varphi\big(\nabla'\cdot\overrightarrow{\mathcal{P}}\big)+\overrightarrow{\mathcal{P}}\cdot\nabla'\varphi.
Dessa expressão isolamos o termo \overrightarrow{\mathcal{P}}\cdot\nabla'\varphi:
\overrightarrow{\mathcal{P}}\cdot\nabla'\varphi =\nabla'\cdot\big(\varphi\overrightarrow{\mathcal{P}}\big)-\varphi\big(\nabla'\cdot\overrightarrow{\mathcal{P}}\big).
Substituindo isso na integral do potencial:
V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{V_{\text{mat}}}\left[\nabla'\cdot\big(\varphi\overrightarrow{\mathcal{P}}\big)-\varphi\big(\nabla'\cdot\overrightarrow{\mathcal{P}}\big)\right]d^{3}r^{\prime}.

Passo 4

Aplicar o teorema da divergência (também chamado de teorema de Gauss) ao primeiro termo do integrando: para um volume V_{\text{mat}} com superfície S de contorno e vetor normal externo \hat{n},
\int_{V_{\text{mat}}}\nabla'\cdot\big(\varphi\overrightarrow{\mathcal{P}}\big)\,d^{3}r'=\oint_{S}\varphi(\overrightarrow{r^{\prime}})\,\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})\cdot\hat{n}\,da'.
Substituindo na expressão de V(\vec{r}) obtemos:
V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[\oint_{S}\frac{\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})\cdot\hat{n}}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\,da' -\int_{V_{\text{mat}}}\frac{\nabla'\cdot\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\,d^{3}r^{\prime}\right].
Observação didática: o potencial eletrostático criado por carregamentos livres \rho e \sigma é, por definição,
V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[\int\frac{\rho(\overrightarrow{r^{\prime}})}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\,d^{3}r^{\prime} +\oint\frac{\sigma(\overrightarrow{r^{\prime}})}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\,da'\right].
Comparando termo a termo com a expressão obtida para o potencial devido à polarização, identifica-se que a polarização age como se houvesse densidades efetivas de carga dadas por:
  • termo volumétrico: corresponde a \rho_{\text{pol}}(\overrightarrow{r^{\prime}}) tal que seu potencial é o segundo integral; como no potencial aparece -\nabla'\cdot\overrightarrow{\mathcal{P}} multiplicando 1/|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}|, concluímos
\rho_{\text{pol}}(\overrightarrow{r^{\prime}})=-\nabla'\cdot\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}}).
  • termo superficial: corresponde a \sigma_{\text{pol}}(\overrightarrow{r^{\prime}}) tal que seu potencial é o primeiro integral; nele aparece \overrightarrow{\mathcal{P}}\cdot\hat{n} multiplicando 1/|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}|, portanto
\sigma_{\text{pol}}(\overrightarrow{r^{\prime}})=\overrightarrow{\mathcal{P}}(\overrightarrow{r^{\prime}})\cdot\hat{n}.

Passo 5

Interpretação física e resumo didático (como usar na prova):
  • \overrightarrow{\mathcal{P}}(\vec{r}) é o momento dipolar por unidade de volume no ponto \vec{r}. Se \overrightarrow{\mathcal{P}} varia no interior do material, a divergência \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{P}} é, com sinal trocado, uma densidade volumétrica de cargas ligadas: pontos onde há “terminação” de dipolos aparecem como cargas ligadas volumétricas.
  • Em superfícies onde o material termina abruptamente, existe uma densidade superficial de cargas ligadas igual ao componente normal de \overrightarrow{\mathcal{P}} no contorno: isto corresponde à acumulação de cargas na superfície devido aos dipolos que têm uma componente na direção normal.
  • Na hora da prova: comece escrevendo o potencial integrado a partir do dipólo elementar, use a identidade \nabla'\varphi=(\vec{r}-\vec{r'})/|\vec{r}-\vec{r'}|^{3}, depois a identidade vetorial \nabla'\cdot(\varphi\overrightarrow{\mathcal{P}})=\varphi\nabla'\cdot\overrightarrow{\mathcal{P}}+\overrightarrow{\mathcal{P}}\cdot\nabla'\varphi e por fim o teorema de Gauss para transformar o volume em superfície. Isso leva direto às fórmulas das densidades ligadas.

Resposta

\displaystyle \rho_{\text{pol}}(\vec{r}) = -\,\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{P}}(\vec{r})
\displaystyle \sigma_{\text{pol}}(\vec{r}) = \overrightarrow{\mathcal{P}}(\vec{r})\cdot\hat{n}

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