(Valor: \mathbf{0 , 5} pt.) Demonstre, por meio da lei de Biot-Savart, que \vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0.
Obs: Lei de Biot-Savart,
\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{\mathcal{C}} i d \vec{l} \times \frac{\left(\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right)}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|^{3}}
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, a partir da lei de Biot–Savart, que \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0. A lei de Biot–Savart dada é
\vec{r} é o ponto de campo (variável onde avaliamos \vec{B});
\vec{r}' é o ponto fonte (variável de integração ao longo da curva \mathcal{C});
d\vec{l} é o elemento de comprimento no espaço da fonte (vou reescrever como d\vec{l}' para deixar claro que depende de \vec{r}');
i é a corrente (constante ao longo do fio, para este problema);
a integral é sobre a linha \mathcal{C} que contém as correntes.
O que devemos mostrar: a divergência do campo magnético calculada a partir dessa expressão é zero, isto é, provar que \vec{\nabla}\cdot\vec{B}(\vec{r})=0.
Passo 2
Escrevo a divergência e passo o operador \vec{\nabla} para dentro da integral (justificativa: pode-se diferenciar sob o sinal de integral porque a derivada é tomada em \vec{r} e o integrando é suficientemente regular para \vec{r}\neq\vec{r}'; no caso de singularidade em \vec{r}=\vec{r}' trata‑se de um ponto isolado na curva):
O vetor diferencial d\vec{l}' depende somente da posição da fonte \vec{r}', não depende de \vec{r}. Portanto, quando computamos \vec{\nabla} que é derivada em relação a \vec{r}, temos
\vec{\nabla}\times d\vec{l}'=\vec{0}.
(Isto porque d\vec{l}' é uma constante em relação à variável \vec{r}.)
Para o outro termo, uso a identidade que relaciona o campo \dfrac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}} com o gradiente de uma função escalar. Observação útil (muito usada em eletromagnetismo):
Mas há uma identidade muito básica do cálculo vetorial: o rotacional de um gradiente é sempre nulo (isso decorre da igualdade das segundas derivadas parciais, assumindo regularidade da função):
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\varphi)=\vec{0}\quad\text{para qualquer }\varphi\text{ suficientemente suave}.
Aplicando com \varphi(\vec{r})=\dfrac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|} obtemos
Integrando a função zero sobre \mathcal{C} obtém-se zero, e multiplicando pela constante \dfrac{\mu_0 i}{4\pi} também dá zero. Assim concluímos, para pontos de campo \vec{r} que não coincidem com pontos fonte \vec{r}' na curva:
\vec{\nabla}\cdot\vec{B}(\vec{r})=0.
Observação final e didática rápida: a prova acima falha tecnicamente no próprio ponto \vec{r}=\vec{r}' por causa da singularidade do núcleo 1/|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}; entretanto, fisicamente (e em sentido das distribuições) a divergência do campo magnético é zero em todo o espaço — isto corresponde à ausência de monopólos magnéticos. Em provas de teoria clássica isso é tratado mencionando que a igualdade vale para todo \vec{r} exceto na linha de corrente, e que a extensão por continuidade/distribuição dá \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 globalmente.