1. (Valor: \mathbf{0 , 5} pt.) Demonstre, por meio da lei de Biot-Savart, que \vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0.
Obs: Lei de Biot-Savart,
\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{\mathcal{C}} i d \vec{l} \times \frac{\left(\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right)}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, a partir da lei de Biot–Savart, que \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0. A lei de Biot–Savart dada é
\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\mathcal{C}} i\,d\vec{l}\times\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}},
onde:
  • \vec{r} é o ponto de campo (variável onde avaliamos \vec{B});
  • \vec{r}' é o ponto fonte (variável de integração ao longo da curva \mathcal{C});
  • d\vec{l} é o elemento de comprimento no espaço da fonte (vou reescrever como d\vec{l}' para deixar claro que depende de \vec{r}');
  • i é a corrente (constante ao longo do fio, para este problema);
  • a integral é sobre a linha \mathcal{C} que contém as correntes.
O que devemos mostrar: a divergência do campo magnético calculada a partir dessa expressão é zero, isto é, provar que \vec{\nabla}\cdot\vec{B}(\vec{r})=0.

Passo 2

Escrevo a divergência e passo o operador \vec{\nabla} para dentro da integral (justificativa: pode-se diferenciar sob o sinal de integral porque a derivada é tomada em \vec{r} e o integrando é suficientemente regular para \vec{r}\neq\vec{r}'; no caso de singularidade em \vec{r}=\vec{r}' trata‑se de um ponto isolado na curva):
\vec{\nabla}\cdot\vec{B}(\vec{r}) =\frac{\mu_{0} i}{4\pi}\int_{\mathcal{C}}\vec{\nabla}\cdot\!\left(d\vec{l}'\times\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}\right).
Agora uso a identidade vetorial (uma fórmula padrão de cálculo vetorial)
\vec{\nabla}\cdot(\vec{A}\times\vec{C})=\vec{C}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{C}),
aplicando com \vec{A}=d\vec{l}' e \vec{C}=\dfrac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}. Assim,
\vec{\nabla}\cdot\!\left(d\vec{l}'\times\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}\right) =\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}\cdot(\vec{\nabla}\times d\vec{l}')-d\vec{l}'\cdot\left(\vec{\nabla}\times\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}\right).

Passo 3

Expliquei cada termo da expressão anterior:
  • O vetor diferencial d\vec{l}' depende somente da posição da fonte \vec{r}', não depende de \vec{r}. Portanto, quando computamos \vec{\nabla} que é derivada em relação a \vec{r}, temos
\vec{\nabla}\times d\vec{l}'=\vec{0}.
(Isto porque d\vec{l}' é uma constante em relação à variável \vec{r}.)
  • Para o outro termo, uso a identidade que relaciona o campo \dfrac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}} com o gradiente de uma função escalar. Observação útil (muito usada em eletromagnetismo):
\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}} = -\vec{\nabla}\!\left(\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\right).
Isto é fácil de lembrar: para a função \varphi(\vec{r})=1/|\vec{r}-\vec{r}'| tem-se \vec{\nabla}\varphi = -(\vec{r}-\vec{r}')/|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}.
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\vec{\nabla}\times\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}} =\vec{\nabla}\times\big(-\vec{\nabla}\!\left(\tfrac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\right)\big) =-\vec{\nabla}\times\big(\vec{\nabla}\!\left(\tfrac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\right)\big).

Passo 4

Mas há uma identidade muito básica do cálculo vetorial: o rotacional de um gradiente é sempre nulo (isso decorre da igualdade das segundas derivadas parciais, assumindo regularidade da função):
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\varphi)=\vec{0}\quad\text{para qualquer }\varphi\text{ suficientemente suave}.
Aplicando com \varphi(\vec{r})=\dfrac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|} obtemos
\vec{\nabla}\times\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}=\vec{0}.
Com isso, ambos os termos na expressão do Passo 2 se anulam:
\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}\cdot(\vec{\nabla}\times d\vec{l}')=0 \quad\text{e}\quad d\vec{l}'\cdot\left(\vec{\nabla}\times\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}\right)=0.
Portanto o integrando é zero ponto a ponto (para \vec{r}\neq\vec{r}'):
\vec{\nabla}\cdot\!\left(d\vec{l}'\times\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}\right)=0.

Passo 5

Integrando a função zero sobre \mathcal{C} obtém-se zero, e multiplicando pela constante \dfrac{\mu_0 i}{4\pi} também dá zero. Assim concluímos, para pontos de campo \vec{r} que não coincidem com pontos fonte \vec{r}' na curva:
\vec{\nabla}\cdot\vec{B}(\vec{r})=0.
Observação final e didática rápida: a prova acima falha tecnicamente no próprio ponto \vec{r}=\vec{r}' por causa da singularidade do núcleo 1/|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}; entretanto, fisicamente (e em sentido das distribuições) a divergência do campo magnético é zero em todo o espaço — isto corresponde à ausência de monopólos magnéticos. Em provas de teoria clássica isso é tratado mencionando que a igualdade vale para todo \vec{r} exceto na linha de corrente, e que a extensão por continuidade/distribuição dá \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 globalmente.

Resposta

\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0

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