1. (Valor: 2,5) Mostre que a integral de linha \oint_{C} \operatorname{cotg}(y) d x-x \operatorname{cossec}^{2}(y) d y é independente do caminho e calcule a integral se C é qualquer caminho de (1,0) a \left(2, \frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que a integral de linha \displaystyle \oint_{C} \cot(y)\,dx - x\,\csc^{2}(y)\,dy é independente do caminho.
  • Calcular essa integral quando C é “qualquer caminho” de (1,0) a \left(2,\tfrac{\pi}{4}\right).
Informações dadas que vamos usar:
  • A integranda em forma diferencial tem a parte em dx igual a \cot(y) e a parte em dy igual a -x\csc^{2}(y).
  • Os pontos extremos são (1,0) e \left(2,\tfrac{\pi}{4}\right).
Observação importante (apenas listando dados): as funções \cot(y) e \csc(y) não estão definidas quando \sin(y)=0, isto é, em y=k\pi para k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Vamos escrever a integral no formato padrão de campos no plano. Defina
P(x,y)=\cot(y),\qquad Q(x,y)=-x\,\csc^{2}(y).
Aqui P é a componente associada a dx e Q a componente associada a dy. Note que P e Q estão definidas apenas quando \sin(y)\neq0, ou seja, no conjunto
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; y\neq k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}.
Esse é o domínio natural do campo: fora dele as funções têm singulares.

Passo 3

Critério para campo ser conservativo (independência do caminho), explicado de forma simples:
  • Se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa U e satisfazem
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{em }U,
então existe uma função potencial f com \nabla f=(P,Q), e a integral de linha entre dois pontos em U depende só dos extremos (independente do caminho).
Vamos calcular as derivadas parciais em qualquer ponto onde as funções existem ( y\neq k\pi):
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{d}{dy}\cot(y)=-\csc^{2}(y).
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(-x\,\csc^{2}(y)\big)=-\csc^{2}(y).
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em todo D, o campo é irrotacional (essa igualdade vale em cada componente conectada de D).

Passo 4

Agora vamos encontrar explicitamente a potencial f(x,y). Partimos de
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=\cot(y).
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y)=\int \cot(y)\,dx = x\cot(y)+g(y),
onde g(y) é uma função que pode depender só de y. Para determinar g, derivamos f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=x\frac{d}{dy}\cot(y)+g'(y)= -x\,\csc^{2}(y)+g'(y).
Mas sabemos que \dfrac{\partial f}{\partial y} deve ser igual a Q(x,y)=-x\,\csc^{2}(y). Igualando:
-x\,\csc^{2}(y)+g'(y)=-x\,\csc^{2}(y)\quad\Rightarrow\quad g'(y)=0.
Logo g(y) é constante, e podemos tomar a potencial (uma escolha conveniente)
f(x,y)=x\cot(y)+C.
Isto confirma que em cada componente conectada de D o campo é conservativo e a integral entre dois pontos dessa mesma componente depende apenas dos extremos.

Passo 5

Interpretação e limitação prática: a independência do caminho vale somente sobre qualquer região que não atravesse as linhas y=k\pi. Cada faixa horizontal entre duas linhas y=k\pi e y=(k+1)\pi é uma componente onde o campo é conservativo. Para aplicar a fórmula \displaystyle \int_{C} P\,dx+Q\,dy = f(\text{final})-f(\text{inicial}) é preciso que ambos os pontos estejam na mesma componente de D (ou seja, que nenhum dos pontos tenha y=k\pi).
No nosso caso os pontos dados são (1,0) e \left(2,\tfrac{\pi}{4}\right). O segundo ponto tem y=\tfrac{\pi}{4}, que está em uma componente onde o campo é regular (por exemplo na faixa 0<y<\pi). O primeiro ponto tem y=0, e esse valor faz \sin(0)=0: o campo não está definido em (1,0). Portanto não é possível aplicar diretamente a fórmula de potencial entre esses dois pontos, porque o ponto inicial não pertence ao domínio D onde o campo é definido.

Passo 6

Para tornar evidente que a integral é realmente problemática (não é apenas um detalhe técnico), calculemos a integral ao longo de um caminho simples que parte de (1,0) e sobe verticalmente até (1,\tfrac{\pi}{4}) (esse é um caminho admissível só se aceitarmos integrar a partir de y=0 como um limite): nesse segmento x=1 (logo dx=0) e y varia de 0 a \tfrac{\pi}{4}. A integral nesse segmento vale
\int_{y=0}^{y=\pi/4}\big(\cot(y)\,dx - x\csc^{2}(y)\,dy\big) =\int_{0}^{\pi/4}\big( -1\cdot\csc^{2}(y)\big)\,dy =-\int_{0}^{\pi/4}\csc^{2}(y)\,dy.
Sabemos que \dfrac{d}{dy}\cot(y)=-\csc^{2}(y), então
-\int_{0}^{\pi/4}\csc^{2}(y)\,dy = \big[\cot(y)\big]_{0}^{\pi/4} = \cot\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)-\cot(0).
Mas \cot\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=1 e \cot(0)=\displaystyle\lim_{y\to0^+}\cot(y)=+\infty. Assim o valor da integral sobre esse segmento tende a 1-\infty=-\infty: diverge. Isso mostra que qualquer tentativa de começar a integral exatamente em y=0 conduz a divergência (o integrando tem singularidade não integrável no ponto inicial).

Passo 7

Conclusão prática (resumindo o que se pode afirmar com segurança):
  • A forma diferencial definida por P(x,y)=\cot(y) e Q(x,y)=-x\csc^{2}(y) é conservativa em cada componente do domínio D=\{y\neq k\pi\}. Uma potencial é f(x,y)=x\cot(y)+C. Logo, dentro de qualquer uma dessas componentes a integral de linha é independente do caminho e pode ser calculada por f(\text{final})-f(\text{inicial}).
  • Contudo, como o ponto inicial (1,0) tem y=0 onde o campo não está definido, a integral de linha de (1,0) até \left(2,\tfrac{\pi}{4}\right) não é bem definida (diverge). Portanto não existe um valor finito para essa integral tal como pedida.
Se o ponto inicial fosse um ponto com y\neq k\pi (por exemplo (1,y_0) com 0<y_0<\pi), então a integral seria simplesmente
f\!\left(2,\tfrac{\pi}{4}\right)-f(1,y_0)=2\cot\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)-1\cot(y_0)=2- \cot(y_0).
Mas isto é apenas uma observação alternativa: não se aplica ao caso com início em (1,0).

Resposta

A forma diferencial é conservativa em cada componente onde \sin(y)\neq0; uma potencial é f(x,y)=x\cot(y)+C. Contudo, o ponto (1,0) está fora do domínio (singularidade em y=0), logo a integral de (1,0) a \left(2,\tfrac{\pi}{4}\right) não está definida (diverge).

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