- (Valor: 2,5) Mostre que a integral de linha
é independente do caminho e calcule a integral se
é qualquer caminho de
a
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que a integral de linha
é independente do caminho. - Calcular essa integral quando
é “qualquer caminho” de a .
Informações dadas que vamos usar:
- A integranda em forma diferencial tem a parte em
igual a e a parte em igual a . - Os pontos extremos são
e .
Observação importante (apenas listando dados): as funções
e
não estão definidas quando
, isto é, em
para
.
Passo 2
Vamos escrever a integral no formato padrão de campos no plano. Defina
Aqui
é a componente associada a
e
a componente associada a
. Note que
e
estão definidas apenas quando
, ou seja, no conjunto
Esse é o domínio natural do campo: fora dele as funções têm singulares.
Passo 3
Critério para campo ser conservativo (independência do caminho), explicado de forma simples:
- Se
e têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa e satisfazem
então existe uma função potencial
com
, e a integral de linha entre dois pontos em
depende só dos extremos (independente do caminho).
Vamos calcular as derivadas parciais em qualquer ponto onde as funções existem (
):
Como
em todo
, o campo é irrotacional (essa igualdade vale em cada componente conectada de
).
Passo 4
Agora vamos encontrar explicitamente a potencial
. Partimos de
Integramos em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função que pode depender só de
. Para determinar
, derivamos
em relação a
:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando:
Logo
é constante, e podemos tomar a potencial (uma escolha conveniente)
Isto confirma que em cada componente conectada de
o campo é conservativo e a integral entre dois pontos dessa mesma componente depende apenas dos extremos.
Passo 5
Interpretação e limitação prática: a independência do caminho vale somente sobre qualquer região que não atravesse as linhas
. Cada faixa horizontal entre duas linhas
e
é uma componente onde o campo é conservativo. Para aplicar a fórmula
é preciso que ambos os pontos estejam na mesma componente de
(ou seja, que nenhum dos pontos tenha
).
No nosso caso os pontos dados são
e
. O segundo ponto tem
, que está em uma componente onde o campo é regular (por exemplo na faixa
). O primeiro ponto tem
, e esse valor faz
: o campo não está definido em
. Portanto não é possível aplicar diretamente a fórmula de potencial entre esses dois pontos, porque o ponto inicial não pertence ao domínio
onde o campo é definido.
Passo 6
Para tornar evidente que a integral é realmente problemática (não é apenas um detalhe técnico), calculemos a integral ao longo de um caminho simples que parte de
e sobe verticalmente até
(esse é um caminho admissível só se aceitarmos integrar a partir de
como um limite): nesse segmento
(logo
) e
varia de
a
. A integral nesse segmento vale
Sabemos que
, então
Mas
e
. Assim o valor da integral sobre esse segmento tende a
: diverge. Isso mostra que qualquer tentativa de começar a integral exatamente em
conduz a divergência (o integrando tem singularidade não integrável no ponto inicial).
Passo 7
Conclusão prática (resumindo o que se pode afirmar com segurança):
- A forma diferencial definida por
e é conservativa em cada componente do domínio . Uma potencial é . Logo, dentro de qualquer uma dessas componentes a integral de linha é independente do caminho e pode ser calculada por . - Contudo, como o ponto inicial
tem onde o campo não está definido, a integral de linha de até não é bem definida (diverge). Portanto não existe um valor finito para essa integral tal como pedida.
Se o ponto inicial fosse um ponto com
(por exemplo
com
), então a integral seria simplesmente
Mas isto é apenas uma observação alternativa: não se aplica ao caso com início em
.
Resposta
A forma diferencial é conservativa em cada componente onde
; uma potencial é
. Contudo, o ponto
está fora do domínio (singularidade em
), logo a integral de
a
não está definida (diverge).