(Valor: 1 ponto, cada item.) Considere a inequação 1x <= 2-x.
(a) Manipule-a, usando soma de frações e produto notável, para mostrar que ela pode ser reescrita como
(x-1)^2x <= 0
(b) Resolva a inequação e determine o seu conjunto solução.

Passo 1

O enunciado pede para manipular a inequação
1x <= 2 - x
de forma a reescrevê-la como
(x-1)^2x <= 0,
e em seguida resolver essa inequação. O conteúdo envolvido é manipulação algébrica de frações, soma de frações, reconhecimento de produto notável e estudo de sinal de uma expressão racional.

Passo 2

Começamos trazendo tudo para um só lado:
1x - (2 - x) <= 0
Colocando em denominador comum x (e lembrando que xneq0):
1 - 2x + x^2x <= 0
Reconhecendo o numerador como produto notável,
1 - 2x + x^2 = (x-1)^2,
obtemos
(x-1)^2x <= 0

Passo 3

Analisamos o sinal de (x-1)^2x:
  • (x-1)^2>=0 para todo x, e é zero só em x=1.
  • O denominador x muda de sinal em x=0.
Para que (x-1)^2x<=0 temos duas possibilidades:
  1. (x-1)^2=0, isto é x=1.
  2. (x-1)^2>0 e x<0, pois numerador positivo dividido por número negativo torna a fração negativa.

Passo 4

Juntando as duas situações e lembrando que xneq0, o conjunto solução é
(-infty,0);cup;1

Resposta

(-infty,0)cup1

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