Encontre a solução particular da edo
3 y^prime prime-3 y+2 y=3 t^2-t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). A questão pede para encontrar a solução particular da equação:
3 y'' - 3 y + 2 y = 3 t^2 - t
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar soluções para EDOs lineares não homogêneas usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observamos que temos termos semelhantes em y:
3 y'' - 3 y + 2 y = 3 t^2 - t
Isso simplifica para:
3 y'' - y = 3 t^2 - t
Agora, estamos lidando com uma EDO linear não homogênea onde o lado direito é um polinômio de segundo grau.

Passo 3

Para encontrar a solução particular, vamos supor que ela tenha a mesma forma do lado direito da equação. Como temos um polinômio de segundo grau, vamos assumir que:
yp = A t^2 + B t + C
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de yp' = 2 A t + B:
yp'' = 2 A
3 y'' - y = 3 t^2 - t
Substituindo 3 (2 A) - (A t^2 + B t + C) = 3 t^2 - t e suas derivadas na equação original:
6 A - A t^2 - B t - C = 3 t^2 - t
Fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para -A = 3 implies A = -3:
    -B = -1 implies B = 1
  • Para 6 A - C = 0 implies 6(-3) - C = 0 implies -18 - C = 0 implies C = -18:
  • Termo constante:

Resposta

A solução particular da EDO é:
yp = -3 t^2 + t - 18

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