(Valor: 1,0 ponto) Seja a função
Interprete geometricamente o significado das derivadas parciais
e
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para interpretar geometricamente as derivadas parciais
e
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não há outros dados numéricos: a interpretação deve ser feita para um ponto arbitrário
.
Passo 2
Vamos calcular
passo a passo (derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante).
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Primeiro identifique as funções internas:
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Primeiro identifique as funções internas:
Aplicando a regra do produto
.
Agora a regra da cadeia para . Como
, temos
Agora a regra da cadeia para
Simplificando,
Passo 3
Agora
(derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante).
Partimos de . Aqui
é constante ao diferenciar em relação a
. Aplica-se a regra da cadeia:
Partimos de
Logo
Passo 4
Interpretação geométrica de
.
Considere a interseção da superfície com o plano paralelo ao plano
que passa por
, ou seja, o plano
(aqui
do ponto
). Essa interseção é uma curva em coordenadas
dada por
Considere a interseção da superfície
A derivada ordinary
dessa curva no ponto
é exatamente
. Portanto
é o coeficiente angular (a inclinação) da curva obtida fixando
: indica a taxa de variação de
quando
varia e
fica fixo. Em termos de pequenas variações, se
é pequeno e
, então
Passo 5
Interpretação geométrica de
.
Analogamente, fixe (aqui
do ponto
) e olhe a interseção da superfície com o plano paralelo ao plano
: essa interseção é a curva
Analogamente, fixe
vista como função de
. A derivada ordinary
nessa curva é
. Logo
é a inclinação da curva obtida fixando
: indica a taxa de variação de
quando
varia e
fica fixo. Para pequena variação
com
,
Passo 6
Ligando as duas interpretações: plano tangente e aproximação linear.
As duas derivadas parciais em determinam o plano tangente à superfície
em
. A equação do plano tangente em torno de
é
As duas derivadas parciais em
onde
são variáveis no espaço. Esse plano é a melhor aproximação linear de
perto de
, e a fórmula de aproximação linear (linearização) é
Isto mostra que
e
são as “inclinações” nas direções coordenadas e nos dizem como
muda para pequenos deslocamentos em
e em
.
Passo 7
Exemplo ilustrativo simples. Tome
. Calculando com as fórmulas encontradas:
Interpretação: no ponto
a superfície tem plano tangente horizontal (nenhuma variação linear primeiro-ordem nem em
nem em
).
Passo 8
Dica prática para a prova (resumindo o que escrever): calcule
e
explicitamente, explique que
é a inclinação da curva
(variação de
com
mantendo
fixo) e
é a inclinação da curva
(variação de
com
mantendo
fixo); mencione a relação com o plano tangente e com a aproximação linear para completar a interpretação geométrica.