(Valor: 1,0 ponto) Seja a função
f(x, y)=x \cdot \operatorname{sen}\left(x^{2}+y\right)
Interprete geometricamente o significado das derivadas parciais f_{x} e f_{y} no ponto P(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x\cdot\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr)
e pede para interpretar geometricamente as derivadas parciais f_{x} e f_{y} no ponto P(x,y).
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) a fórmula de }f(x,y);\qquad \text{(ii) o ponto genérico }P(x,y)\text{ onde a interpretação é pedida.}óéçãé
Não há outros dados numéricos: a interpretação deve ser feita para um ponto arbitrário P.

Passo 2

Vamos calcular f_{x} passo a passo (derivada parcial de f em relação a x, tratando y como constante).
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Primeiro identifique as funções internas:
u(x,y)=x^{2}+y,\qquad f(x,y)=x\cdot\operatorname{sen}\bigl(u(x,y)\bigr).
Aplicando a regra do produto \dfrac{\partial}{\partial x}(x\cdot\operatorname{sen}(u)) = 1\cdot\operatorname{sen}(u) + x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\operatorname{sen}(u)\bigr).
Agora a regra da cadeia para \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(\operatorname{sen}(u)\bigr)=\cos(u)\cdot\dfrac{\partial u}{\partial x}. Como \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x, temos
f_{x}(x,y)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr)+x\cdot\cos\bigl(x^{2}+y\bigr)\cdot 2x.
Simplificando,
f_{x}(x,y)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr)+2x^{2}\cos\bigl(x^{2}+y\bigr).

Passo 3

Agora f_{y} (derivada parcial de f em relação a y, tratando x como constante).
Partimos de f(x,y)=x\cdot\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr). Aqui x é constante ao diferenciar em relação a y. Aplica-se a regra da cadeia:
\dfrac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr)=\cos\bigl(x^{2}+y\bigr)\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y)=\cos\bigl(x^{2}+y\bigr)\cdot 1.
Logo
f_{y}(x,y)=x\cdot\cos\bigl(x^{2}+y\bigr).

Passo 4

Interpretação geométrica de f_{x}(x,y).
Considere a interseção da superfície z=f(x,y) com o plano paralelo ao plano xz que passa por P, ou seja, o plano y=\text{constante}=y_{0} (aqui y_{0}=y do ponto P). Essa interseção é uma curva em coordenadas (x,z) dada por
z=g(x)=f\bigl(x,y\bigr)=x\cdot\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr).
A derivada ordinary g'(x) dessa curva no ponto x é exatamente f_{x}(x,y). Portanto f_{x}(x,y) é o coeficiente angular (a inclinação) da curva obtida fixando y: indica a taxa de variação de z quando x varia e y fica fixo. Em termos de pequenas variações, se \Delta x é pequeno e \Delta y=0, então
\Delta z \approx f_{x}(x,y)\,\Delta x.

Passo 5

Interpretação geométrica de f_{y}(x,y).
Analogamente, fixe x=\text{constante}=x_{0} (aqui x_{0}=x do ponto P) e olhe a interseção da superfície com o plano paralelo ao plano yz: essa interseção é a curva
z=h(y)=f\bigl(x,y\bigr)=x\cdot\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr)
vista como função de y. A derivada ordinary h'(y) nessa curva é f_{y}(x,y). Logo f_{y}(x,y) é a inclinação da curva obtida fixando x: indica a taxa de variação de z quando y varia e x fica fixo. Para pequena variação \Delta y com \Delta x=0,
\Delta z \approx f_{y}(x,y)\,\Delta y.

Passo 6

Ligando as duas interpretações: plano tangente e aproximação linear.
As duas derivadas parciais em P determinam o plano tangente à superfície z=f(x,y) em P. A equação do plano tangente em torno de P é
z-f(x,y)=f_{x}(x,y)\bigl(X-x\bigr)+f_{y}(x,y)\bigl(Y-y\bigr),
onde (X,Y,Z) são variáveis no espaço. Esse plano é a melhor aproximação linear de f perto de P, e a fórmula de aproximação linear (linearização) é
f(x+\Delta x,\,y+\Delta y)\approx f(x,y)+f_{x}(x,y)\,\Delta x+f_{y}(x,y)\,\Delta y.
Isto mostra que f_{x} e f_{y} são as “inclinações” nas direções coordenadas e nos dizem como z muda para pequenos deslocamentos em x e em y.

Passo 7

Exemplo ilustrativo simples. Tome P=(0,0). Calculando com as fórmulas encontradas:
f_{x}(0,0)=\operatorname{sen}(0)+2\cdot 0^{2}\cos(0)=0,\qquad f_{y}(0,0)=0\cdot\cos(0)=0.
Interpretação: no ponto (0,0) a superfície tem plano tangente horizontal (nenhuma variação linear primeiro-ordem nem em x nem em y).

Passo 8

Dica prática para a prova (resumindo o que escrever): calcule f_{x} e f_{y} explicitamente, explique que f_{x} é a inclinação da curva y=\text{const} (variação de z com x mantendo y fixo) e f_{y} é a inclinação da curva x=\text{const} (variação de z com y mantendo x fixo); mencione a relação com o plano tangente e com a aproximação linear para completar a interpretação geométrica.

Resposta

f_{x}(x,y)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr)+2x^{2}\cos\bigl(x^{2}+y\bigr). Geometricamente, f_{x}(x,y) é a inclinação da curva obtida ao intersectar a superfície z=f(x,y) com o plano y= constante passando por P; representa a taxa de variação de z quando x varia e y permanece fixo ( \Delta z\approx f_{x}\,\Delta x).
f_{y}(x,y)=x\cos\bigl(x^{2}+y\bigr). Geometricamente, f_{y}(x,y) é a inclinação da curva obtida ao intersectar a superfície com o plano x= constante passando por P; representa a taxa de variação de z quando y varia e x permanece fixo ( \Delta z\approx f_{y}\,\Delta y).

Exercícios relacionados