(Valor: 2,0 pontos) Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma equação do plano tangente à superfície dada por
no ponto indicado
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Antes de continuar, avalio se o ponto pertence à superfície: calculo
na superfície para
:
Como
, o ponto
não pertence à superfície. Portanto, não existe um plano tangente à superfície nesse ponto específico — o plano tangente está definido apenas em pontos que pertencem à superfície. Vou, então, também calcular o plano tangente no ponto da superfície com as mesmas coordenadas
, ou seja no ponto correto da superfície
, pois provavelmente houve um erro de digitação no enunciado. Vou proceder a achar o plano tangente em
e explicar tudo passo a passo.
Passo 2
O método que vamos usar: para uma superfície dada por
e um ponto
sobre a superfície, a equação do plano tangente é a linearização de
em
. A fórmula é
Explicando isso de forma simples:
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e mede a inclinação da superfície na direção
;
é a derivada parcial em relação a
(mantendo
fixo) e mede a inclinação na direção
. O plano tangente é a melhor aproximação linear (reta dupla) da superfície perto do ponto, e é obtido somando as mudanças lineares vindas de variações em
e em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Primeiro
(derivada parcial em relação a
). Aqui usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
- produto: se
então ; - cadeia:
.
Aplicando:
Colocando em fator comum:
Passo 4
Agora
(derivada parcial em relação a
). Mantemos
fixo e derivamos
em relação a
. Pela regra da cadeia,
Multiplicando por
(porque
):
Passo 5
Agora avalio as derivadas em
. Primeiro calculei antes
. Também:
Portanto
Passo 6
Substituo na fórmula do plano tangente em
:
Substituindo os valores:
Posso simplificar:
Fatorando
:
Essa é a equação do plano tangente à superfície no ponto correto
.
Resposta
Não existe plano tangente à superfície no ponto
, pois
não pertence à superfície (aqui
).
Plano tangente à superfície no ponto
:
Plano tangente à superfície