(Valor: 2,0 pontos) Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z=x e^{x-y} \quad(1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma equação do plano tangente à superfície dada por
z = x e^{x-y}
no ponto indicado (1,0,1).
Informações fornecidas:
\text{superfície: } z = x e^{x-y},\qquad \text{ponto proposto: } (x_0,y_0,z_0)=(1,0,1).í
Antes de continuar, avalio se o ponto pertence à superfície: calculo z na superfície para (x,y)=(1,0):
f(1,0)=1\cdot e^{1-0}=e.
Como f(1,0)=e\neq 1, o ponto (1,0,1) não pertence à superfície. Portanto, não existe um plano tangente à superfície nesse ponto específico — o plano tangente está definido apenas em pontos que pertencem à superfície. Vou, então, também calcular o plano tangente no ponto da superfície com as mesmas coordenadas (x,y)=(1,0), ou seja no ponto correto da superfície (1,0,e), pois provavelmente houve um erro de digitação no enunciado. Vou proceder a achar o plano tangente em (1,0,e) e explicar tudo passo a passo.

Passo 2

O método que vamos usar: para uma superfície dada por z=f(x,y) e um ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) sobre a superfície, a equação do plano tangente é a linearização de f em (x_0,y_0). A fórmula é
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Explicando isso de forma simples: f_x é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e mede a inclinação da superfície na direção x; f_y é a derivada parcial em relação a y (mantendo x fixo) e mede a inclinação na direção y. O plano tangente é a melhor aproximação linear (reta dupla) da superfície perto do ponto, e é obtido somando as mudanças lineares vindas de variações em x e em y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x e^{x-y}.
Primeiro f_x (derivada parcial em relação a x). Aqui usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
  • produto: se f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então f_x = u_x v + u v_x;
  • cadeia: \dfrac{\partial}{\partial x} e^{x-y} = e^{x-y}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(x-y) = e^{x-y}\cdot 1.
Aplicando:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(x\big)\cdot e^{x-y} + x\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x-y}\big) = 1\cdot e^{x-y} + x\cdot e^{x-y}\cdot 1.
Colocando em fator comum:
f_x(x,y)=e^{x-y}(1+x).

Passo 4

Agora f_y (derivada parcial em relação a y). Mantemos x fixo e derivamos e^{x-y} em relação a y. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial y} e^{x-y} = e^{x-y}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(x-y) = e^{x-y}\cdot (-1) = -e^{x-y}.
Multiplicando por x (porque f= x\cdot e^{x-y}):
f_y(x,y) = x\cdot (-e^{x-y}) = -x e^{x-y}.

Passo 5

Agora avalio as derivadas em (x_0,y_0)=(1,0). Primeiro calculei antes f(1,0)=e. Também:
e^{1-0}=e.
Portanto
f_x(1,0)=e^{1-0}(1+1)=e\cdot 2 = 2e,
f_y(1,0)=-1\cdot e^{1-0}=-e.

Passo 6

Substituo na fórmula do plano tangente em (x_0,y_0,f(x_0,y_0))=(1,0,e):
z = f(1,0) + f_x(1,0)\,(x-1) + f_y(1,0)\,(y-0).
Substituindo os valores:
z = e + 2e\,(x-1) + (-e)\,y.
Posso simplificar:
z = e + 2e x - 2e - e y = 2e x - e y - e.
Fatorando e:
z = e\,(2x - y - 1).
Essa é a equação do plano tangente à superfície no ponto correto (1,0,e).

Resposta

Não existe plano tangente à superfície no ponto (1,0,1), pois (1,0,1) não pertence à superfície (aqui f(1,0)=e\neq1).
Plano tangente à superfície z= x e^{x-y} no ponto (1,0,e):
z = e\,(2x - y - 1).

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