(Valor: 2,0 pontos) Considere a função
Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
Passo 1
O enunciado dá a função
o ponto
e o vetor direção
. A pergunta é: calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção de
. As informações relevantes são, portanto:
Passo 2
O que é a derivada direcional? Vou explicar devagarinho. Se queremos a derivada de
em
na direção de um vetor
(unitário), definimos a função de uma variável
onde
e
. A derivada direcional de
em
na direção
é
Pela regra da cadeia (explico em seguida), isso dá a fórmula prática
ou seja, o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor direção unitário
. Nota importante: usamos o vetor unitário porque a derivada direcional mede taxa de variação por unidade de comprimento naquela direção.
Passo 3
Vou mostrar rapidamente a derivação pelo cálculo das derivadas parciais (regra da cadeia aplicada): se
com
e
, então
Como
e
, avaliando em
obtemos
Agora, para usar isso, preciso das derivadas parciais de
.
Passo 4
Calculo das derivadas parciais de
:
porque diferenciando em relação a
tratamos
como constante e
; e
porque
e
.
Passo 5
Avalio as parciais no ponto
:
Portanto o gradiente em
é
Passo 6
Agora preciso do vetor unitário na direção de
. Primeiro a norma de
:
Logo o vetor unitário é
Lembre que usamos o vetor unitário porque a derivada direcional é taxa por unidade de comprimento.
Passo 7
Aplicando a fórmula
fazemos o produto escalar:
Calculo os termos:
então