(Valor: 2,0 pontos) Considere a função
f(x, y)=x^{2} y+y^{3}
Calcule a derivada direcional de f no ponto P(1,2) na direção do vetor \vec{v}=3 i+4 j

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}y+y^{3},
o ponto P(1,2) e o vetor direção \vec{v}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}. A pergunta é: calcular a derivada direcional de f no ponto P na direção de \vec{v}. As informações relevantes são, portanto:
\text{função }f(x,y)=x^{2}y+y^{3},\qquad P=(1,2),\qquad \vec{v}=(3,4).çã

Passo 2

O que é a derivada direcional? Vou explicar devagarinho. Se queremos a derivada de f em P na direção de um vetor \vec{u} (unitário), definimos a função de uma variável
g(t)=f(P+t\vec{u})=f(x_0+tu_1,\;y_0+tu_2),
onde P=(x_0,y_0) e \vec{u}=(u_1,u_2). A derivada direcional de f em P na direção \vec{u} é
D_{\vec{u}}f(P)=g'(0).
Pela regra da cadeia (explico em seguida), isso dá a fórmula prática
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \vec{u},
ou seja, o produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor direção unitário \vec{u}. Nota importante: usamos o vetor unitário porque a derivada direcional mede taxa de variação por unidade de comprimento naquela direção.

Passo 3

Vou mostrar rapidamente a derivação pelo cálculo das derivadas parciais (regra da cadeia aplicada): se g(t)=f(x(t),y(t)) com x(t)=x_0+tu_1 e y(t)=y_0+tu_2, então
g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\cdot x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))\cdot y'(t).
Como x'(t)=u_1 e y'(t)=u_2, avaliando em t=0 obtemos
g'(0)=f_x(x_0,y_0)\,u_1+f_y(x_0,y_0)\,u_2=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\vec{u}.
Agora, para usar isso, preciso das derivadas parciais de f.

Passo 4

Calculo das derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}y+y^{3}:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy,
porque diferenciando em relação a x tratamos y como constante e \frac{d}{dx}(x^2y)=2x y; e
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}+3y^{2},
porque \frac{d}{dy}(x^{2}y)=x^{2} e \frac{d}{dy}(y^{3})=3y^{2}.

Passo 5

Avalio as parciais no ponto P(1,2):
f_x(1,2)=2\cdot 1\cdot 2=4,
f_y(1,2)=1^{2}+3\cdot 2^{2}=1+3\cdot 4=1+12=13.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(1,2)=(4,13).

Passo 6

Agora preciso do vetor unitário na direção de \vec{v}=(3,4). Primeiro a norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Logo o vetor unitário é
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Lembre que usamos o vetor unitário porque a derivada direcional é taxa por unidade de comprimento.

Passo 7

Aplicando a fórmula D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec{u} fazemos o produto escalar:
D_{\vec{u}}f(1,2)= (4,13)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) =4\cdot\frac{3}{5}+13\cdot\frac{4}{5}.
Calculo os termos:
4\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{5},\qquad 13\cdot\frac{4}{5}=\frac{52}{5},
então
D_{\vec{u}}f(1,2)=\frac{12}{5}+\frac{52}{5}=\frac{64}{5}.

Resposta

\dfrac{64}{5}

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