(Valor: 2,0 pontos) Um bloco cilíndrico posicionado com seu eixo na direção vertical tem diâmetro igual a 300 mm , altura igual a 500 mm e toda a sua superfície está a 80^{\circ} \mathrm{C}. Considerando a transferência de calor por convecção natural entre o cilindro e o ar ambiente, que está a 20^{\circ} \mathrm{C}, determine: (a) o coeficiente convectivo médio observado entre a superfície lateral e o ar; (b) a taxa de calor por convecção natural na superfície lateral do bloco.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas aplicadas à superfície lateral (cylindrical barrel) de um bloco cilíndrico: (a) o coeficiente convectivo médio observado entre a superfície lateral e o ar; (b) a taxa de calor por convecção natural na superfície lateral.
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
\text{diâmetro } D = 300\\ \mathrm{mm} = 0{,}300\\ \mathrm{m},â
\text{altura } H = 500\\ \mathrm{mm} = 0{,}500\\ \mathrm{m},
T_s = 80^\circ\mathrm{C},\qquad T_\infty = 20^\circ\mathrm{C},
considerar apenas a superfície lateral do cilindro e convecção natural ar–superfície. A diferença de temperatura é
\Delta T = T_s - T_\infty = 60\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): como o cilindro está com eixo vertical e queremos convecção natural na superfície lateral, usamos correlações de convecção natural para superfícies verticais. Para um cilindro alto (relação altura/diâmetro aqui é H/D = 0{,}5/0{,}3 \approx 1{,}67, maior que 1) é aceitável usar a correlação para placa vertical com comprimento característico L = H. Vou usar a correlação de Churchill & Chu (fórmula válida numa ampla faixa de número de Rayleigh) para a Nusselt média em placa vertical isoterma, que dá uma transição contínua entre regimes. Assim podemos obter o coeficiente convectivo médio h.

Passo 3

Definição de temperatura de filme e por que usar: ao avaliar propriedades do ar (viscosidade, condutividade etc.) usamos a temperatura média entre a superfície e o ambiente, chamada de temperatura de filme:
T_\text{f} = \frac{T_s + T_\infty}{2} = \frac{80 + 20}{2} = 50^\circ\mathrm{C}.
As propriedades do ar serão tomadas à temperatura \,T_\text{f}=50^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Propriedades do ar e definições físicas (valores aproximados à temperatura de filme, explicando cada grandeza):
  • coeficiente volumétrico de expansão térmica (para gás ideal) \beta \approx 1/T_\text{f (K)}. Como T_\text{f}=50^\circ\mathrm{C}=323\\ \mathrm{K},
\beta = \frac{1}{323}\\ \mathrm{K^{-1}} \approx 0{,}003096\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • condutividade térmica do ar (k). Vou usar k \approx 0{,}027\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • viscosidade cinemática (\nu). Vou usar \nu \approx 18{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • número de Prandtl (Pr). Para ar em torno de 50°C, Pr \approx 0{,}70.
  • difusividade térmica (\alpha) definida por \alpha = \nu / Pr. Assim
\alpha \approx \frac{18{,}5\times 10^{-6}}{0{,}70} \approx 26{,}43\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Observação didática: \beta mede quanto o fluido expande com a temperatura (importante para flutuação), \nu controla a difusão de quantidade de movimento, \alpha controla a difusão térmica, e Pr é a razão entre essas difusividades ( Pr=\nu/\alpha). O parâmetro adimensional que combina efeitos de flutuação e difusão térmica é o número de Rayleigh, que veremos a seguir.

Passo 5

Cálculo do número de Rayleigh baseado na altura L=H=0{,}500\\ \mathrm{m}. Definição:
Ra_L = \frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3}{\nu\,\alpha},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Substituindo os valores (faço as contas passo a passo):
L^3 = (0{,}500)^3 = 0{,}125\\ \mathrm{m^3},
\text{numerador} = g\,\beta\,\Delta T\,L^3 = 9{,}81\cdot 0{,}003096\cdot 60\cdot 0{,}125 \approx 0{,}22785,
\text{denominador} = \nu\,\alpha \approx (18{,}5\times 10^{-6})\cdot(26{,}43\times 10^{-6}) \approx 4{,}888\times 10^{-10}.
Portanto
Ra_L = \frac{0{,}22785}{4{,}888\times 10^{-10}} \approx 4{,}66\times 10^{8}.
Didática: Ra_L combina as forças de flutuação (proporcional a g\beta\Delta T) com os efeitos dissipativos da viscosidade e condução térmica; valores altos indicam convecção mais intensa.

Passo 6

Aplicar a correlação de Churchill & Chu para a Nusselt média em placa vertical isoterma (forma apropriada para ampla faixa de Ra_L). A correlação que uso é:
\overline{Nu}_L = \left[\,0{,}825 + \frac{0{,}387\,Ra_L^{1/6}}{\left(1 + (0{,}492/Pr)^{9/16}\right)^{8/27}}\,\right]^2.
Vou calcular os termos passo a passo.
Primeiro calcule (0{,}492/Pr)^{9/16}:
\frac{0{,}492}{Pr} = \frac{0{,}492}{0{,}70} \approx 0{,}702857,
\left(0{,}702857\right)^{9/16} \approx 0{,}82\quad(\text{cálculo direto exponencial}).á
Então
1 + (0{,}492/Pr)^{9/16} \approx 1{,}82,
e
\left(1{,}82\right)^{8/27} \approx 1{,}194.
Agora Ra_L^{1/6}:
Ra_L^{1/6} = (4{,}66\times 10^8)^{1/6} \approx 27{,}84.
Substituindo:
\frac{0{,}387\cdot 27{,}84}{1{,}194} \approx \frac{10{,}774}{1{,}194} \approx 9{,}024,
0{,}825 + 9{,}024 \approx 9{,}849,
\overline{Nu}_L \approx (9{,}849)^2 \approx 96{,}99 \approx 97{,}0.
Explicação: \overline{Nu}_L é o número de Nusselt médio (adimensional) que relaciona transporte convectivo ao difusivo; com ele encontramos h.

Passo 7

Calcular o coeficiente convectivo médio h a partir de \overline{Nu}_L. Relação:
h = \frac{\overline{Nu}_L\;k}{L}.
Substituindo \overline{Nu}_L \approx 97{,}0, k \approx 0{,}027\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e L=0{,}500\\ \mathrm{m}:
h \approx \frac{97{,}0\cdot 0{,}027}{0{,}500} = \frac{2{,}619}{0{,}500} \approx 5{,}238\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Arredondando com razoável precisão: h \approx 5{,}24\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Didática: h tem dimensões \mathrm{W/(m^2\cdot K)} e indica a intensidade do fluxo convectivo por unidade de área e por gradiente de temperatura.

Passo 8

Calcular a área lateral do cilindro e a taxa de calor por convecção na superfície lateral. Área lateral:
A = \pi D H = \pi\cdot 0{,}300\cdot 0{,}500 = \pi\cdot 0{,}150 \approx 0{,}47124\\ \mathrm{m^2}.
Taxa de calor por convecção (somente lateral):
\dot Q = h\,A\,\Delta T.
Substituindo:
\dot Q \approx 5{,}238\cdot 0{,}47124\cdot 60 \approx 2{,}468\cdot 60 \approx 148{,}07\\ \mathrm{W}.
Arredondando: \dot Q \approx 148{,}1\\ \mathrm{W} (ou aproximadamente 148\\ \mathrm{W}).

Passo 9

Observações finais e suposições (importantes para a prova):
  • Usei a placa vertical como modelo para a superfície lateral do cilindro; isso é usual quando H/D é maior que 1. Para cilindros muito curtos haveria correções.
  • Usei propriedades do ar à temperatura de filme 50^\circ\mathrm{C} e valores aproximados (tabelas são aceitas na prova); diferenças modestamente diferentes nas propriedades mudariam pouco os resultados.
  • Considerei superfície lateral inteira isoterma a 80^\circ\mathrm{C} e desprezei as extremidades (tampas); o enunciado pediu explicitamente a superfície lateral, então está correto.

Resposta

(a) \;h \approx 5{,}24\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}
(b) \;\dot Q \approx 148{,}1\\ \mathrm{W}

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