(Valor: 2,0 pontos) A superfície externa de uma casca esférica com diâmetro igual a 400 mm apresenta temperatura média de 240^{\circ} \mathrm{C} e emissividade igual a 0,65 . A esfera está em repouso no interior de uma grande sala na qual a temperatura média das paredes é 25^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura do ar é 20^{\circ} \mathrm{C}. Determine (a) o coeficiente convectivo médio entre a esfera e o ar ambiente, (b) a taxa de calor por convecção natural na superfície da esfera e (c) a taxa líquida total de calor observada entre e esfera e o meio ambiente.

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica com: diâmetro externo D=400\\ \mathrm{mm}=0,4\\ \mathrm{m}, temperatura média da superfície T_{s}=240^{\circ}\mathrm{C}, e emissividade \varepsilon=0,65. A esfera está numa sala grande com temperatura média das paredes T_{\text{paredes}}=25^{\circ}\mathrm{C} e temperatura do ar T_{\infty}=20^{\circ}\mathrm{C}.
O que nos pedem:
(a) o coeficiente convectivo médio h entre a esfera e o ar ambiente;
(b) a taxa de calor por convecção natural na superfície da esfera \dot{Q}_{\text{conv}};
(c) a taxa líquida total de calor observada entre a esfera e o meio ambiente (convecção + radiação) \dot{Q}_{\text{total}}.
Informações úteis fornecidas pelo enunciado e constantes que vamos usar: g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} e constante de Stefan–Boltzmann \sigma=5,670\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^{2}K^{4})}. A esfera está em repouso (convecção natural).

Passo 2

Estratégia de cálculo (explicação do método que vou usar, sem jargões desnecessários): para obter o coeficiente convectivo médio h em convecção natural ao redor de uma esfera usamos uma correlação empírica que dá o número de Nusselt \mathrm{Nu} em função do número de Rayleigh \mathrm{Ra} (que reúne efeitos de gravidade, diferença de temperatura, viscosidade, etc.). Depois obtemos h por
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D},
onde k é a condutividade térmica do ar no “filme” (temperatura média entre superfície e ar). Para \mathrm{Nu} vou usar a correlação de Churchill e Chu para esfera (é uma correlação amplamente aceita e adequada para o intervalo de Ra que se obtém aqui), que é prática e razoavelmente precisa para exercícios de prova.
Vou também calcular a troca por radiação entre a superfície da esfera e as paredes grandes da sala usando a fórmula clássica da radiação:
\dot{Q}_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,A\left(T_{s}^{4}-T_{\text{paredes}}^{4}\right),
com temperaturas em kelvin e A área externa da esfera.

Passo 3

Primeiro calculemos a temperatura de filme (média), e vamos escolher propriedades do ar avaliadas nessa temperatura de filme. A temperatura de filme é
T_{f}=\frac{T_{s}+T_{\infty}}{2}=\frac{240+20}{2}=130\\ ^{\circ}\mathrm{C}=403{,}15\\ \mathrm{K}.
Para o ar em T_{f}\approx403\\ \mathrm{K} adotamos, com justificativa de aproximação de tabela de propriedades (valores típicos usados em problemas de prova):
k=0{,}033\\ \mathrm{W/(m\;K)},\quad \nu=2{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s},\quad \mathrm{Pr}=0{,}7.
Expliquei: k é a condutividade térmica, \nu é a viscosidade cinemática, e \mathrm{Pr} é o número de Prandtl (razão entre viscosidade cinemática e difusividade térmica). Esses valores são aproximações razoáveis para ar perto de 400\\ \mathrm{K} e suficientes para a prova.
A geometria: raio R=D/2=0{,}2\\ \mathrm{m}. Área externa da esfera:
A=4\pi R^{2}=\pi D^{2}=\pi(0{,}4)^{2}=0{,}5026548\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular o número de Grashof \mathrm{Gr} e o número de Rayleigh \mathrm{Ra}. As fórmulas e significado:
\mathrm{Gr}=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,D^{3}}{\nu^{2}},\qquad \mathrm{Ra}=\mathrm{Gr}\,\mathrm{Pr},
onde \beta é o coeficiente de expansão térmica do fluido. Para um gás ideal \beta\approx 1/T_{f} (em kelvin). A diferença de temperatura usada na convecção é \Delta T=T_{s}-T_{\infty}=240-20=220\\ \mathrm{K}.
Calculemos \beta:
\beta=\frac{1}{T_{f}}=\frac{1}{403{,}15}=0{,}00248\\ \mathrm{K^{-1}}.
Agora \mathrm{Gr}:
D^{3}=(0{,}4)^{3}=0{,}064\\ \mathrm{m^{3}},
\mathrm{Gr}=\frac{9{,}81\times0{,}00248\times220\times0{,}064}{(2{,}5\times10^{-5})^{2}}.
Vamos calcular em passos:
0{,}00248\times220=0{,}5456,
9{,}81\times0{,}5456=5{,}353,
5{,}353\times0{,}064=0{,}3426,
\nu^{2}=(2{,}5\times10^{-5})^{2}=6{,}25\times10^{-10},
\mathrm{Gr}=\frac{0{,}3426}{6{,}25\times10^{-10}}=5{,}482\times10^{8}.
Agora \mathrm{Ra}:
\mathrm{Ra}=\mathrm{Gr}\,\mathrm{Pr}=5{,}482\times10^{8}\times0{,}7=3{,}837\times10^{8}.
Comentário didático: \mathrm{Ra} grande (≈ 10^{8}) indica convecção natural bem desenvolvida; correlação empírica para esfera é adequada.

Passo 5

Aplicar a correlação de Churchill–Chu para esfera:
\mathrm{Nu}=2+\frac{0{,}589\,\mathrm{Ra}^{1/4}}{\left(1+\left(\dfrac{0{,}469}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right)^{4/9}}.
Explico as variáveis: \mathrm{Nu} é o número de Nusselt (medida adimensional da convecção), \mathrm{Ra} é o número de Rayleigh calculado, e \mathrm{Pr} é o Prandtl.
Calculemos \mathrm{Ra}^{1/4}:
\mathrm{Ra}^{1/4}=(3{,}837\times10^{8})^{1/4}\approx140{,}0.
Calculemos o denominador auxiliar:
\left(\frac{0{,}469}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}=\left(\frac{0{,}469}{0{,}7}\right)^{9/16}=(0{,}670)^{0{,}5625}\approx0{,}798,
1+0{,}798=1{,}798,\qquad (1{,}798)^{4/9}\approx1{,}298.
Agora o numerador da fração:
0{,}589\times140{,}0=82{,}46.
Portanto
\mathrm{Nu}=2+\frac{82{,}46}{1{,}298}=2+63{,}56=65{,}56.

Passo 6

Calcular o coeficiente convectivo médio h usando
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}.
Substituindo os valores:
h=\frac{65{,}56\times0{,}033}{0{,}4}=65{,}56\times0{,}0825=5{,}41\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
Interpretação: esse valor está na ordem esperada para convecção natural de uma superfície quente no ar (alguns W/m²K).

Passo 7

Calcular a taxa de calor por convecção natural:
\dot{Q}_{\text{conv}}=h\,A\,(T_{s}-T_{\infty}).
Já temos h=5{,}41\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}, A=0{,}5026548\\ \mathrm{m^{2}} e \Delta T=220\\ \mathrm{K}. Então
\dot{Q}_{\text{conv}}=5{,}41\times0{,}5026548\times220\approx598{,}7\\ \mathrm{W}.
Arredondando para a precisão típica de prova: \dot{Q}_{\text{conv}}\approx599\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Calcular a taxa de calor por radiação entre a esfera e as paredes (grande sala). Fórmula e cuidado com unidades (temperaturas em kelvin):
\dot{Q}_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,A\left(T_{s}^{4}-T_{\text{paredes}}^{4}\right).
Converter temperaturas:
T_{s}=240^{\circ}\mathrm{C}=513{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{\text{paredes}}=25^{\circ}\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
Calculemos T_{s}^{4}-T_{\text{paredes}}^{4}. Usando os valores aproximados:
T_{s}^{4}-T_{\text{paredes}}^{4}\approx6{,}142\times10^{10}\\ \mathrm{K^{4}}.
Agora \sigma A=(5{,}670\times10^{-8})\times0{,}5026548\approx2{,}852\times10^{-8}.
Portanto
\varepsilon\,\sigma\,A\left(T_{s}^{4}-T_{\text{paredes}}^{4}\right)=0{,}65\times2{,}852\times10^{-8}\times6{,}142\times10^{10}.
Calcule:
2{,}852\times10^{-8}\times6{,}142\times10^{10}=2{,}852\times6{,}142\times10^{2}\approx1752\\ \mathrm{W},
\dot{Q}_{\text{rad}}=0{,}65\times1752\approx1139\\ \mathrm{W}.
Comentário: a radiação aqui é maior que a convecção porque a superfície está muito quente e radiação escala com T^{4}.

Passo 9

Taxa líquida total de calor observada entre a esfera e o meio ambiente (assumindo que convecção e radiação removem energia da esfera e que os sinais somam para perda total):
\dot{Q}_{\text{total}}=\dot{Q}_{\text{conv}}+\dot{Q}_{\text{rad}}\approx598{,}7+1139\approx1737{,}7\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma consistente:
\dot{Q}_{\text{total}}\approx1738\\ \mathrm{W}.
Encorajamento rápido: foi muita conta, mas o caminho é sempre o mesmo — achar propriedades no T_{f}, calcular \mathrm{Gr} e \mathrm{Ra}, usar a correlação para \mathrm{Nu}, obter h, e então aplicar as fórmulas de convecção e radiação. Dá para decorar esse roteiro e aplicar rápido na prova.

Resposta

(a) h\approx5{,}41\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}
(b) \dot{Q}_{\text{conv}}\approx599\\ \mathrm{W}
(c) \dot{Q}_{\text{total}}=\dot{Q}_{\text{conv}}+\dot{Q}_{\text{rad}}\approx1738\\ \mathrm{W}

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