(Valor: 2,0 pontos) A superfície externa de uma casca esférica com diâmetro igual a 400 mm apresenta temperatura média de
e emissividade igual a 0,65 . A esfera está em repouso no interior de uma grande sala na qual a temperatura média das paredes é
e a temperatura do ar é
. Determine (a) o coeficiente convectivo médio entre a esfera e o ar ambiente, (b) a taxa de calor por convecção natural na superfície da esfera e (c) a taxa líquida total de calor observada entre e esfera e o meio ambiente.
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica com: diâmetro externo
, temperatura média da superfície
, e emissividade
. A esfera está numa sala grande com temperatura média das paredes
e temperatura do ar
.
O que nos pedem:
(a) o coeficiente convectivo médio entre a esfera e o ar ambiente;
(b) a taxa de calor por convecção natural na superfície da esfera ;
(c) a taxa líquida total de calor observada entre a esfera e o meio ambiente (convecção + radiação) .
O que nos pedem:
(a) o coeficiente convectivo médio
(b) a taxa de calor por convecção natural na superfície da esfera
(c) a taxa líquida total de calor observada entre a esfera e o meio ambiente (convecção + radiação)
Informações úteis fornecidas pelo enunciado e constantes que vamos usar:
e constante de Stefan–Boltzmann
. A esfera está em repouso (convecção natural).
Passo 2
Estratégia de cálculo (explicação do método que vou usar, sem jargões desnecessários): para obter o coeficiente convectivo médio
em convecção natural ao redor de uma esfera usamos uma correlação empírica que dá o número de Nusselt
em função do número de Rayleigh
(que reúne efeitos de gravidade, diferença de temperatura, viscosidade, etc.). Depois obtemos
por
onde
é a condutividade térmica do ar no “filme” (temperatura média entre superfície e ar). Para
vou usar a correlação de Churchill e Chu para esfera (é uma correlação amplamente aceita e adequada para o intervalo de Ra que se obtém aqui), que é prática e razoavelmente precisa para exercícios de prova.
Vou também calcular a troca por radiação entre a superfície da esfera e as paredes grandes da sala usando a fórmula clássica da radiação:
com temperaturas em kelvin e
área externa da esfera.
Passo 3
Primeiro calculemos a temperatura de filme (média), e vamos escolher propriedades do ar avaliadas nessa temperatura de filme. A temperatura de filme é
Para o ar em
adotamos, com justificativa de aproximação de tabela de propriedades (valores típicos usados em problemas de prova):
Expliquei:
é a condutividade térmica,
é a viscosidade cinemática, e
é o número de Prandtl (razão entre viscosidade cinemática e difusividade térmica). Esses valores são aproximações razoáveis para ar perto de
e suficientes para a prova.
A geometria: raio
. Área externa da esfera:
Passo 4
Calcular o número de Grashof
e o número de Rayleigh
. As fórmulas e significado:
onde
é o coeficiente de expansão térmica do fluido. Para um gás ideal
(em kelvin). A diferença de temperatura usada na convecção é
.
Calculemos
:
Agora
:
Vamos calcular em passos:
Agora
:
Comentário didático:
grande (≈
) indica convecção natural bem desenvolvida; correlação empírica para esfera é adequada.
Passo 5
Aplicar a correlação de Churchill–Chu para esfera:
Explico as variáveis:
é o número de Nusselt (medida adimensional da convecção),
é o número de Rayleigh calculado, e
é o Prandtl.
Calculemos
:
Calculemos o denominador auxiliar:
Agora o numerador da fração:
Portanto
Passo 6
Calcular o coeficiente convectivo médio
usando
Substituindo os valores:
Interpretação: esse valor está na ordem esperada para convecção natural de uma superfície quente no ar (alguns W/m²K).
Passo 7
Calcular a taxa de calor por convecção natural:
Já temos
,
e
. Então
Arredondando para a precisão típica de prova:
.
Passo 8
Calcular a taxa de calor por radiação entre a esfera e as paredes (grande sala). Fórmula e cuidado com unidades (temperaturas em kelvin):
Converter temperaturas:
Calculemos
. Usando os valores aproximados:
Agora
.
Portanto
Portanto
Calcule:
Comentário: a radiação aqui é maior que a convecção porque a superfície está muito quente e radiação escala com
.
Passo 9
Taxa líquida total de calor observada entre a esfera e o meio ambiente (assumindo que convecção e radiação removem energia da esfera e que os sinais somam para perda total):
Arredondando de forma consistente:
Encorajamento rápido: foi muita conta, mas o caminho é sempre o mesmo — achar propriedades no
, calcular
e
, usar a correlação para
, obter
, e então aplicar as fórmulas de convecção e radiação. Dá para decorar esse roteiro e aplicar rápido na prova.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)