Você deseja jogar uma bola para um amigo segura-la no meio do seu quarto. A distância entre o chão e o teto é igual a D e você lança a bola com velocidade
. Qual é a distância horizontal máxima (em termos de D ) que a bola pode
se deslocar sem que seja rebatida pelo teto? (Suponha que a bola tenha sido lançada do chão.)
se deslocar sem que seja rebatida pelo teto? (Suponha que a bola tenha sido lançada do chão.)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a maior distância horizontal que a bola pode percorrer (lançada do chão) sem tocar o teto.
O que é dado: a distância entre chão e teto é . A velocidade inicial do lançamento é
). A bola é lançada do chão (altura inicial zero).
O que se espera encontrar: a máxima distância horizontal (em termos de ) tal que a trajetória não ultrapasse a altura
.
O que é dado: a distância entre chão e teto é
O que se espera encontrar: a máxima distância horizontal (em termos de
Passo 2
Vamos definir as variáveis e lembrar as fórmulas básicas (devagar e com calma).
- Seja
o ângulo de lançamento medido em relação à horizontal. - A velocidade inicial tem componentes horizontal e vertical:
Aqui ) é a velocidade horizontal inicial e ) é a velocidade vertical inicial. - A altura máxima
atingida por um projétil (quando ignoramos resistência do ar) é dada pela energia cinética vertical convertida em altura: a fórmula é onde é a aceleração da gravidade. Vou explicar: a componente vertical sobe até a velocidade vertical momentaneamente zero; usando resolvemos para . - A distância horizontal total (alcance)
até a bola voltar ao chão (mesma altura inicial) é Explicando: o tempo de voo é , e a distância horizontal é .
Passo 3
Impor a condição de não tocar o teto. Isso significa que a altura máxima
não pode ser maior que
. Usamos a fórmula de
:
Substituímos
= 6 g D)) (pois
):
Simplificando (os
e
não nulos cancelam onde aplicável):
Portanto a condição para não atingir o teto é
Passo 4
Queremos agora maximizar a distância horizontal
sujeita à restrição anterior. Escrevemos
usando
:
Então o problema virou: para
com
, qual o maior valor possível de
?
Passo 5
Transformamos a função a ser maximizada em termos de
(isso ajuda a visualizar):
onde
. Definimos
Queremos o máximo de
no intervalo
.
Passo 6
Estudo de monotonicidade (modo simples): calcule a derivada de
para saber se cresce ou decresce no intervalo.
Derivando (mostro cada passo):
Derivando (mostro cada passo):
Usando regra do produto e cadeia,
Simplificando:
O denominador é positivo para
. O sinal de
é, portanto, o sinal de
. Assim
enquanto
(i.e.
), e
para
. Logo
cresce até
e depois decresce.
Mas nosso intervalo permitido é
. Note que
portanto
. Isso significa que em todo o intervalo permitido
: a função é estritamente crescente no intervalo. Assim o máximo ocorre no extremo superior
.
Passo 7
Calcule o valor máximo de
usando
:
Agora substituímos em
:
Simplificando os fatores:
Passo 8
Interpretação final (curta e animadora): com a velocidade dada
), qualquer lançamento que mantenha a altura máxima abaixo do teto precisa satisfazer
. Dentro dessa condição, o maior alcance horizontal possível ocorre justamente quando a altura máxima é exatamente
(ou seja, a trajetória “encosta” no teto sem ultrapassar), e o alcance máximo é
). Dá pra imaginar: se tentar ângulos maiores a bola bate no teto; ângulos menores reduzem o alcance.