Resolva as seguinte equações diferenciais:
Considere as condições iniciais:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
- Equação diferencial dada:
- Condições iniciais:
- O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e passo a passo):
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes como
procura-se soluções da forma exponencial
porque a derivação preserva a forma exponencial (a derivada de
é
, a segunda derivada é
). Substituindo essa tentativa na equação obtemos uma equação algébrica para
chamada equação característica. Vou fazer isso em detalhe.
Passo 3
Formação e resolução da equação característica:
Substituindo
na equação diferencial:
Como
para todo
, podemos dividir por
e ficar com a equação característica:
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Como o discriminante é negativo (
), obtemos raízes complexas conjugadas:
Passo 4
Construção da solução geral para raízes complexas (explicação didática):
Quando as raízes da equação característica são
(com
reais e
), a solução geral real da equação homogênea é
onde
e
são constantes reais. Aqui
e
, portanto a solução geral é
Breve motivação (intuitiva):
pela fórmula de Euler; combinando a raiz com sua conjugada e tomando partes reais obtém-se as combinações em coseno e seno multiplicadas por
.
Passo 5
Aplicação das condições iniciais para determinar
e
:
Primeiro, avaliando
em
:
Pela condição inicial
, obtemos
Agora precisamos de
para aplicar
. Calculamos a derivada detalhadamente usando a regra do produto. Começamos com
Derivando,
A derivada de
é
. A derivada de
é
. Substituindo:
Fatorando
:
Agrupando termos em
e
:
Uma forma mais limpa (reordenando sinais) é
Avaliaremos em
. Sabendo que
e
, obtemos
Pela condição inicial
, temos
Já achamos
, logo
Passo 6
Conclusão — solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Substituindo
e
na solução geral
obtém-se a solução desejada: