Resolva as seguinte equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0 Considere as condições iniciais: y(0)=1 \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
  • Equação diferencial dada:
y'' + 2y' + 2y = 0.
  • Condições iniciais:
y(0)=1,\qquad y'(0)=2.
  • O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e passo a passo):
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes como
y'' + 2y' + 2y = 0,
procura-se soluções da forma exponencial
y(t)=e^{rt},
porque a derivação preserva a forma exponencial (a derivada de e^{rt} é r e^{rt}, a segunda derivada é r^2 e^{rt}). Substituindo essa tentativa na equação obtemos uma equação algébrica para r chamada equação característica. Vou fazer isso em detalhe.

Passo 3

Formação e resolução da equação característica:
Substituindo y(t)=e^{rt} na equação diferencial:
r^2 e^{rt} + 2 r e^{rt} + 2 e^{rt}=0.
Como e^{rt}\neq0 para todo t, podemos dividir por e^{rt} e ficar com a equação característica:
r^2 + 2r + 2 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2}.
Como o discriminante é negativo ( \sqrt{-4}=2i), obtemos raízes complexas conjugadas:
r = -1 \pm i.

Passo 4

Construção da solução geral para raízes complexas (explicação didática):
Quando as raízes da equação característica são r = \alpha \pm i\beta (com \alpha, \beta reais e \beta\neq0), a solução geral real da equação homogênea é
y(t) = e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais. Aqui \alpha=-1 e \beta=1, portanto a solução geral é
y(t)=e^{-t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big).
Breve motivação (intuitiva): e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}(\cos\beta t + i\sin\beta t) pela fórmula de Euler; combinando a raiz com sua conjugada e tomando partes reais obtém-se as combinações em coseno e seno multiplicadas por e^{\alpha t}.

Passo 5

Aplicação das condições iniciais para determinar C_1 e C_2:
Primeiro, avaliando y(t) em t=0:
y(0)=e^{0}\big(C_1\cos 0 + C_2\sin 0\big)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Pela condição inicial y(0)=1, obtemos
C_1 = 1.
Agora precisamos de y'(t) para aplicar y'(0)=2. Calculamos a derivada detalhadamente usando a regra do produto. Começamos com
y(t)=e^{-t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big).
Derivando,
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{-t}\big)\cdot\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big) + e^{-t}\cdot\frac{d}{dt}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big).
A derivada de e^{-t} é -e^{-t}. A derivada de C_1\cos t + C_2\sin t é -C_1\sin t + C_2\cos t. Substituindo:
y'(t) = -e^{-t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big) + e^{-t}\big(-C_1\sin t + C_2\cos t\big).
Fatorando e^{-t}:
y'(t)=e^{-t}\Big[ -C_1\cos t - C_2\sin t - C_1\sin t + C_2\cos t \Big].
Agrupando termos em \cos t e \sin t:
y'(t)=e^{-t}\Big[ ( -C_1 + C_2)\cos t + (-C_2 - C_1)\sin t \Big].
Uma forma mais limpa (reordenando sinais) é
y'(t)=e^{-t}\Big[ (C_2 - C_1)\cos t - (C_1 + C_2)\sin t \Big].
Avaliaremos em t=0. Sabendo que \cos 0=1 e \sin 0=0, obtemos
y'(0) = e^{0}\big(C_2 - C_1\big) = C_2 - C_1.
Pela condição inicial y'(0)=2, temos
C_2 - C_1 = 2.
Já achamos C_1=1, logo
C_2 - 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 3.

Passo 6

Conclusão — solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Substituindo C_1=1 e C_2=3 na solução geral
y(t)=e^{-t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big),
obtém-se a solução desejada:
y(t)=e^{-t}\big(\cos t + 3\sin t\big).

Resposta

y(t)=e^{-t}\big(\cos t + 3\sin t\big)

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