(Valor: 2,0 pontos) Na modelagem de um reator tubular (PFR) não ideal, deve-se considerar os termos de acúmulo, de transporte por convecção e por difusão, além da taxa de reação. Considere uma reação de primeira ordem, em que A forma B ao longo da direção axial do reator ( z ), e que o fluxo difusivo do componente A é dado pela Lei de Fick (direção axial, z). Nessa situação, indique qual é a equação diferencial parcial que descreve adequadamente o balanço do componente A é, justificando claramente sua escolha.
(A) \frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{A}}}{\partial \mathrm{t}}-\frac{\partial\left(\mathrm{vC}_{\mathrm{A}}\right)}{\partial \mathrm{z}}+\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}\left(\mathrm{D}_{\mathrm{A}, \text { mistura }} \frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{A}}}{\partial \mathrm{z}}\right)-\mathrm{kC}_{\mathrm{A}}=0
(B) \frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{A}}}{\partial \mathrm{t}}+\frac{\partial\left(\mathrm{vC}_{\mathrm{A}}\right)}{\partial \mathrm{z}}-\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}\left(\mathrm{D}_{\mathrm{A} \text {,mistura }} \frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{A}}}{\partial \mathrm{z}}\right)+\mathrm{kC}_{\mathrm{A}}=0
(C) \frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{A}}}{\partial \mathrm{t}}-\frac{\partial\left(\mathrm{vC}_{\mathrm{A}}\right)}{\partial \mathrm{z}}+\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}\left(\mathrm{D}_{\mathrm{A} \text {,mistura }} \frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{A}}}{\partial \mathrm{z}}\right)-\mathrm{kC}_{\mathrm{A}}=0
(D) \frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{A}}}{\partial \mathrm{t}}+\frac{\partial\left(\mathrm{vC}_{\mathrm{A}}\right)}{\partial \mathrm{z}}+\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}\left(\mathrm{D}_{\mathrm{A}, \text { mistura }} \frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{A}}}{\partial \mathrm{z}}\right)-\mathrm{kC}_{\mathrm{A}}=0
(E) \left(-\frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{A}}}{\partial \mathrm{t}}\right)-\frac{\partial\left(\mathrm{vC}_{\mathrm{A}}\right)}{\partial \mathrm{z}}+\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}\left(\mathrm{D}_{\mathrm{A} \text {,mistura }} \frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{A}}}{\partial \mathrm{z}}\right)+\mathrm{kC}_{\mathrm{A}}=0

Passo 1

O enunciado pede a equação diferencial parcial que descreve o balanço de massa do componente A num reator tubular não ideal, considerando:
  1. termo de acúmulo ( \partial C_A/\partial t),
  2. transporte convectivo (fluxo vC_A),
  3. transporte difusivo pela Lei de Fick (fluxo J_{\rm diff}=-D_{A,\text{mistura}}\;\partial C_A/\partial z),
  4. reação de primeira ordem ( r_A=-kC_A).

Passo 2

Escrevemos o balanço molar unidimensional em z sobre um elemento de volume \mathrm{d}z:
\underbrace{\frac{\partial C_A}{\partial t}\,\mathrm{d}z}_{\text{acúmulo}} = \underbrace{\bigl(vC_A\bigr)\Big|_{z}-\bigl(vC_A\bigr)\Big|_{z+\mathrm{d}z}}_{\text{convecção}} + \underbrace{J_{\rm diff}\bigl|_{z}-J_{\rm diff}\bigl|_{z+\mathrm{d}z}}_{\text{difusão}} + \underbrace{(-kC_A)\,\mathrm{d}z}_{\text{reação}}úçããçã

Passo 3

O termo convectivo se expande, por diferença finita, como
vC_A(z)-vC_A(z+\mathrm{d}z) \approx -\frac{\partial\bigl(vC_A\bigr)}{\partial z}\,\mathrm{d}z.

Passo 4

O termo difusivo usa J_{\rm diff}=-D_{A,\text{mistura}}\;\partial C_A/\partial z, assim
J_{\rm diff}(z)-J_{\rm diff}(z+\mathrm{d}z) \approx -\frac{\partial J_{\rm diff}}{\partial z}\,\mathrm{d}z = -\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(-D_{A,\text{mistura}}\frac{\partial C_A}{\partial z}\Bigr)\mathrm{d}z = \frac{\partial}{\partial z}\Bigl(D_{A,\text{mistura}}\frac{\partial C_A}{\partial z}\Bigr)\mathrm{d}z.

Passo 5

Substituindo no balanço e dividindo por \mathrm{d}z, obtemos
\frac{\partial C_A}{\partial t} = -\frac{\partial\bigl(vC_A\bigr)}{\partial z} +\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(D_{A,\text{mistura}}\frac{\partial C_A}{\partial z}\Bigr) - k\,C_A.

Passo 6

Colocando todos os termos no mesmo lado da equação, fica
\frac{\partial C_A}{\partial t} +\frac{\partial\bigl(vC_A\bigr)}{\partial z} -\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(D_{A,\text{mistura}}\frac{\partial C_A}{\partial z}\Bigr) + k\,C_A =0.

Resposta

(B) \displaystyle \frac{\partial C_{A}}{\partial t}+\frac{\partial\bigl(vC_{A}\bigr)}{\partial z}-\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(D_{A,\text{mistura}}\frac{\partial C_{A}}{\partial z}\Bigr)+kC_{A}=0

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