Questão 2. (Peso: 25 \% ) Um cubo sólido está apoiado no fundo de um canal. A força de arrasto D que atua no cubo é função da profundidade d, da aresta do cubo h, da velocidade da água no canal ao longe V, da massa específica da água \rho e da aceleração da gravidade g.
(a) Represente o problema na forma adimensional.
(b) A força de arrasto deve ser determinada com um modelo construído com escala de comprimento de 1 / 7. Sabendo que o fluido que será utilizado no modelo é água e que a velocidade do escoamento no canal é 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a velocidade que deve ser utilizada no ensaio do modelo.
(c) Como você estimaria a força de arrasto no protótipo a partir da força medida no modelo?

Passo 1

O enunciado diz que a força de arrasto D sobre um cubo apoiado no fundo de um canal depende de seis variáveis: profundidade d, aresta do cubo h, velocidade da água longe do cubo V, massa específica da água \rho e aceleração da gravidade g. O conteúdo aqui é análise dimensional (Teorema de Buckingham) para representar o problema de forma adimensional e depois aplicar simetria de Froude para escala de modelo hidráulico.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Buckingham temos 6 variáveis e 3 dimensões fundamentais ( M,L,T), logo 3 grupos adimensionais. Escolhendo como repetidas d, V e \rho, obtemos:
\Pi_{1} = \frac{D}{\rho\,V^{2}\,d^{2}},
\Pi_{2} = \frac{h}{d},
\Pi_{3} = \frac{g\,d}{V^{2}}.
Assim a forma adimensional fica
\frac{D}{\rho\,V^{2}\,d^{2}} = \Phi\!\Bigl(\frac{h}{d},\,\frac{g\,d}{V^{2}}\Bigr).

Passo 3

Para o modelo em escala linear 1/7 mantemos semelhança geométrica ( d_{m}=d_{p}/7, h_{m}=h_{p}/7) e semelhança de Froude, isto é, igualamos o número de Froude
\mathrm{Fr} = \frac{V}{\sqrt{g\,d}}.
Logo
\frac{V_{m}}{\sqrt{g\,d_{m}}} \;=\;\frac{V_{p}}{\sqrt{g\,d_{p}}},
de onde
V_{m} = V_{p}\,\sqrt{\frac{d_{m}}{d_{p}}} = 2{,}0\;\mathrm{m/s}\;\times\sqrt{\frac{1}{7}} \approx 0{,}76\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

Como \Pi_{1} é idêntico em modelo e protótipo, escreve-se
D = \Pi_{1}\,\rho\,V^{2}\,d^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{D_{p}}{D_{m}} = \frac{\rho\,V_{p}^{2}\,d_{p}^{2}}{\rho\,V_{m}^{2}\,d_{m}^{2}} = \frac{V_{p}^{2}}{V_{m}^{2}}\;\frac{d_{p}^{2}}{d_{m}^{2}}.
Com escala linear \lambda=7 e V_{m}=V_{p}/\sqrt{7}, vem
\frac{D_{p}}{D_{m}} = 7\;\times 49 = 343 \;\;\Longrightarrow\;\; D_{p} = 343\,D_{m}.

Resposta

(a)
\displaystyle \frac{D}{\rho\,V^{2}\,d^{2}} = \Phi\!\Bigl(\frac{h}{d},\,\frac{g\,d}{V^{2}}\Bigr).
(b)
\displaystyle V_{m}\approx 0{,}76\;\mathrm{m/s}.
(c)
\displaystyle D_{p}=343\,D_{m}.

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