(Valor 2,5 pontos.) Resolva as integrais:
integral0^infty 1(x+1)^3 d x. A integral converge ou diverge?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^infty 1(x+1)^3,dx
Este é um caso de integral imprópria do tipo I, pois o intervalo é não limitado no extremo superior. Vamos verificar a convergência e, se convergir, encontrar o valor numérico.

Passo 2

Reescrevemos a integral como um limite finito:
integral0^infty 1(x+1)^3,dx = limRtoinfty integral0^R (x+1)^-3,dx

Passo 3

Para integrar (x+1)^-3, usamos a regra de potência:
integral (x+1)^-3,dx = (x+1)^-2-2 + C = -tfrac12,(x+1)^-2 + C

Passo 4

Avaliamo-la de 0 a R:
integral0^R (x+1)^-3,dx = l[-tfrac12,(x+1)^-2r]0^R = -tfrac12,(R+1)^-2 ;-;l(-tfrac12cdot1^-2r) = -tfrac12,(R+1)^-2 + tfrac12

Passo 5

Agora tomamos o limite Rtoinfty:
limRtoinftyl(-tfrac12,(R+1)^-2 + tfrac12r) = 0 + tfrac12 = tfrac12
Portanto a integral converge e seu valor é tfrac12.

Resposta

A integral converge e
integral0^infty 1(x+1)^3,dx = tfrac12

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