(Valor 2,5 pontos.) Resolva as integrais:
integral0^1 y^2(1-y^3)^4 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 y^2l(1-y^3r)^4,dy
O conteúdo principal aqui é o método de substituição, pois vemos a composição de y^3 dentro de uma potência.

Passo 2

Escolhemos a substituição
t = 1 - y^3,
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dt = -3,y^2,dy Longrightarrow y^2,dy = -13,dt

Passo 3

Quando y varia de 0 a 1, t varia de
t(0) = 1 - 0^3 = 1 até t(1) = 1 - 1^3 = 0 é
Substituindo na integral,
integral0^1 y^2l(1-y^3r)^4,dy = integralt=1^t=0 t^4,l(-tfrac13dtr) = 13integral0^1 t^4,dt

Passo 4

Agora basta integrar t^4:
integral0^1 t^4,dt = [t^55]0^1 = 15
Portanto,
13integral0^1 t^4,dt = 13cdot15 = 115

Resposta

integral0^1 y^2l(1-y^3r)^4,dy = 115

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