(Valor 2,0 pontos.) O valor médio de uma função f num dado intervalo fechado a <= x <= b é definido como sendo o número
fm=1b-a integrala^b f(x) d x
Calcule o valor médio da função f(x)=1x^2 raizx^2+1 no intervalo 1 <= x <= 7.

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de
f(x)=1x^2raizx^2+1
no intervalo 1<= x<=7. Lembrando que o valor médio é
fm=1b-aintegrala^bf(x),dx,
aqui a=1, b=7, então
fm=17-1integral1^71x^2raizx^2+1,dx =16integral1^7dxx^2raizx^2+1

Passo 2

Vamos calcular
I=integral1^7dxx^2raizx^2+1
Fazemos a substituição
u=1x, du=-1x^2,dx ;Longrightarrow; dxx^2=-du
Além disso
raizx^2+1 =raiz1u^2+1 =raiz1+u^2u
já que x>0 implica u>0.

Passo 3

No novo variável u, quando x=1 temos u=1 e quando x=7 temos u=tfrac17. Assim
I =integralx=1^x=7dxx^2raizx^2+1 =integralu=1^u=1/7-dul(raiz1+u^2/ur) =integral1^1/7!-uraiz1+u^2,du
Invertendo os limites:
I=integralu=1/7^u=1uraiz1+u^2,du

Passo 4

Reconhecemos que
ddul(raiz1+u^2r) =uraiz1+u^2,
logo um antiderivado é raiz1+u^2. Portanto
I =l[raiz1+u^2r]u=1/7^u=1 =raiz1+1^2-raiz1+l(tfrac17r)^2 =raiz2-raiz5049

Passo 5

Simplificando
raiz5049 =raiz507 =5raiz27,
então
I=raiz2-5raiz27 =7raiz2-5raiz27 =2raiz27
Logo o valor médio é
fm =16,I =16cdot2raiz27 =2raiz242 =raiz221

Resposta

raiz221

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