(Valor: 1 Pontos) Um sistema foi projetado para atender uma vazão de adução de água para uma vazão de 5 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s}, cuja diferença de nível é de 12 m com 1500 m de comprimento, Utilizando tubos de PVC ( \mathrm{C}=140 ). Utilizar a fórmula de Hazen- Williams. Usar \mathrm{m}=4,87 ; \mathrm{n}=1,85
a) Calcule o Diâmetro necessário para este sistema.
b) Considerando o valor encontrado no dimensionamento do diâmetro, o projetista propôs trabalhar com um sistema de três tubulações em paralelo, com o mesmo diâmetro e comprimento. Para tanto calcule o diâmetro da tubulação deste sistema em paralelo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tomei estes valores do enunciado):
  • Vazão total: \,Q=5\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Perda de carga disponível (diferença de nível): \,h=12\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da tubulação: \,L=1500\\ \mathrm{m}.
  • Tubos de PVC com coeficiente de Hazen–Williams: \,C=140.
  • Exponentes fornecidos para a fórmula de Hazen–Williams: \,m=4{,}87 e \,n=1{,}85.
O enunciado pede:
(a) calcular o diâmetro necessário para uma única tubulação que transporte \,Q=5\\ \mathrm{m^{3}/s} ao longo de L com perda de carga h;
(b) considerando o diâmetro encontrado no item (a) como referência, projetar um sistema de três tubulações em paralelo (mesmo comprimento e mesmo diâmetro entre si) que, em conjunto, atendam a Q=5\\ \mathrm{m^{3}/s} — ou seja, calcular o diâmetro de cada tubulação quando a vazão total for dividida em três linhas iguais.

Passo 2

Apresentação e explicação da fórmula de Hazen–Williams que vamos usar.
A forma prática da fórmula de Hazen–Williams em unidades SI (quando \,D em metros, \,Q em \mathrm{m^{3}/s}, \,L em metros e \,h em metros) pode ser escrita como:
h = \frac{10{,}67\,L\,Q^{n}}{C^{n}\,D^{m}}
onde:
  • \,h é a perda de carga (m) ao longo do comprimento L;
  • \,L é o comprimento da tubulação (m);
  • \,Q é a vazão na tubulação (m^{3}/s);
  • \,C é o coeficiente de rugosidade de Hazen–Williams (adimensional) — para PVC tipicamente \,C\approx140;
  • \,D é o diâmetro interno da tubulação (m);
  • \,m e \,n são os expoentes empíricos (aqui fornecidos: \,m=4{,}87 e \,n=1{,}85);
  • o fator numérico 10{,}67 é a constante que torna a fórmula compatível com as unidades SI no formato acima.
O objetivo é igualar a perda de carga calculada pela fórmula ao h disponível ( 12\\ \mathrm{m}) e resolver para o diâmetro D.

Passo 3

Isolando D na fórmula. Começamos de
h = \frac{10{,}67\,L\,Q^{n}}{C^{n}\,D^{m}}
passando D^{m} para o outro lado e isolando D:
D^{m} = \frac{10{,}67\,L\,Q^{n}}{C^{n}\,h}
portanto
D = \left(\frac{10{,}67\,L\,Q^{n}}{C^{n}\,h}\right)^{1/m}.
Essa é a fórmula que usaremos numericamente. Em seguida substituímos os valores conhecidos.

Passo 4

Cálculo numérico para o item (a) — diâmetro da tubulação única que transporte \,Q=5\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Substituindo L=1500\\ \mathrm{m}, Q=5\\ \mathrm{m^{3}/s}, C=140, h=12\\ \mathrm{m}, n=1{,}85, m=4{,}87 na expressão:
Calcular primeiro Q^{n} e C^{n}.
Q^{n} = 5^{1{,}85}\approx 19{,}65
(explicação rápida: 5^{1{,}85}=e^{1{,}85\ln 5}; \ln 5\approx1{,}60944, multiplicando dá \approx2{,}97746 e exponenciando dá \approx19{,}65.)
C^{n} = 140^{1{,}85}\approx 9\,358{,}4
(similarmente calculado por e^{1{,}85\ln 140}; \ln 140\approx4{,}94164, produto \approx9{,}14204, exponenciando dá \approx9{,}358{,}4.)
Agora o numerador:
10{,}67\,L\,Q^{n} = 10{,}67\cdot1500\cdot19{,}65 \approx 314\,498{,}3.
Dividindo por C^{n}:
\frac{10{,}67\,L\,Q^{n}}{C^{n}} \approx \frac{314\,498{,}3}{9\,358{,}4} \approx 33{,}61.
Agora dividindo por h=12:
\frac{10{,}67\,L\,Q^{n}}{C^{n}\,h} \approx \frac{33{,}61}{12} \approx 2{,}8008.
Finalmente aplicamos a potência 1/m com m=4{,}87:
D = (2{,}8008)^{1/4{,}87}.
Para calcular a potência, usa-se logaritmos: \ln D = \frac{1}{4{,}87}\ln(2{,}8008). Numericamente \ln(2{,}8008)\approx1{,}0296 e \frac{1}{4{,}87}\approx0{,}20535, então \ln D \approx0{,}2114 e
D \approx e^{0{,}2114}\approx 1{,}235\\ \mathrm{m}.
Portanto, para uma única tubulação com as condições dadas, o diâmetro necessário é aproximadamente \,1{,}235\\ \mathrm{m} (ou seja, cerca de 1{,}235 metros de diâmetro interno).

Passo 5

Cálculo numérico para o item (b) — três tubulações em paralelo, mesmo comprimento e mesmo diâmetro.
Se o sistema passa a ter três tubulações idênticas em paralelo, a vazão total \,Q=5\\ \mathrm{m^{3}/s} divide-se igualmente (assumindo mesmas perdas em cada linha), então a vazão em cada tubulação é
Q_{\text{cada}}=\frac{Q}{3}=\frac{5}{3}\\ \mathrm{m^{3}/s}\approx1{,}6666667\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Reaplicamos a fórmula para cada tubulação, mantendo L=1500\\ \mathrm{m}, h=12\\ \mathrm{m}, C=140, n=1{,}85, m=4{,}87, e Q=Q_{\text{cada}}.
Calcular Q_{\text{cada}}^{n}:
\left(\frac{5}{3}\right)^{1{,}85}\approx 1{,}6666667^{1{,}85}\approx 2{,}574.
O numerador:
10{,}67\,L\,Q_{\text{cada}}^{n} = 10{,}67\cdot1500\cdot2{,}574 \approx 41\,196{,}9.
Dividindo por C^{n}:
\frac{10{,}67\,L\,Q_{\text{cada}}^{n}}{C^{n}} \approx \frac{41\,196{,}9}{9\,358{,}4} \approx 4{,}403.
Dividindo por h=12:
\frac{10{,}67\,L\,Q_{\text{cada}}^{n}}{C^{n}\,h} \approx \frac{4{,}403}{12} \approx 0{,}3669.
Aplicando a potência 1/m:
D_{\text{cada}} = (0{,}3669)^{1/4{,}87}.
Usando logaritmos: \ln(0{,}3669)\approx -1{,}0029 e \frac{1}{4{,}87}\approx0{,}20535, então \ln D_{\text{cada}}\approx -0{,}20595 e
D_{\text{cada}} \approx e^{-0{,}20595}\approx 0{,}814\\ \mathrm{m}.
Portanto, cada uma das três tubulações em paralelo deve ter diâmetro interno aproximadamente \,0{,}814\\ \mathrm{m} (cerca de 814\\ \mathrm{mm}) para que, em conjunto, transportem 5\\ \mathrm{m^{3}/s} com a perda de carga disponível de 12\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comentários práticos e verificação rápida (para te deixar mais confiante):
  • Resultado do item (a): \,D\approx1{,}235\\ \mathrm{m}. É um diâmetro bastante grande (tubulação enorme) porque a vazão de 5\\ \mathrm{m^{3}/s} é elevada.
  • Resultado do item (b): com três tubulações em paralelo, cada uma fica com diâmetro menor \,D_{\text{cada}}\approx0{,}814\\ \mathrm{m}. Faz sentido físico: dividir a vazão entre linhas reduz o diâmetro necessário por linha.
  • Observação prática: em projetos reais escolhe-se diâmetros comerciais padronizados e verifica-se capacidade estrutural, velocidade admissível, custos e perdas locais; aqui fiz o dimensionamento hidráulico puro com Hazen–Williams.

Resposta

D_{\text{única}} \approx 1{,}235\\ \mathrm{m}ú
D_{\text{cada (3 em paralelo)}} \approx 0{,}814\\ \mathrm{m}

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