Exercício P.2.4.1. Uma caixa d’água de 1,0 \mathrm{~m} de altura está apoiada sobre uma lage de 4,0 \mathrm{~m} de altura e alimenta a tubulação de um chuveiro. Considerando que o diâmetro da tubulação próximo ao chuveiro na seção ( 2 ) é \frac{1}{2} polegada e que esta seção está a 2,0 \mathrm{~m} do solo, determinar para fluido ideal:
A vazão em volume de água;

Passo 1

O enunciado pede a vazão volumétrica da água no chuveiro (seção (2)) supondo fluido ideal. Vou listar claramente os dados fornecidos (peguei estes valores da figura enviada):
  • Altura da caixa d’água (espessura/nível de água): \,1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • A caixa está apoiada sobre uma laje cuja face superior está a \,4{,}0\\ \mathrm{m} do solo.
  • A seção do chuveiro (seção (2)) está a \,2{,}0\\ \mathrm{m} do solo.
  • Diâmetro da tubulação na seção (2): \,\tfrac{1}{2}\\ \text{polegada}.
    O que devemos determinar:
  • A vazão volumétrica Q da água (fluido ideal), em unidades usuais.

Passo 2

Definição de pontos e hipótese usadas (muito importante entender as hipóteses na prova):
  • Pontos escolhidos para aplicar Bernoulli: ponto 1 = superfície livre do reservatório (topo da água) e ponto 2 = saída no chuveiro (seção (2)).
  • Pressões em 1 e 2 são ambas atmosféricas ( p_1=p_2), pois a superfície livre está exposta e a saída do chuveiro também.
  • Fluido ideal (inviscível), escoamento estacionário e incompressível.
  • Como a superfície do reservatório tem área muito maior que a área da tubulação, a velocidade da superfície é desprezível: v_1\approx0.
  • Vou usar como referência vertical o solo. Assim as cotas (alturas) valem: z_1 = 4{,}0 + 1{,}0 = 5{,}0\\ \mathrm{m}, \qquad z_2 = 2{,}0\\ \mathrm{m}.Logo a queda de altura disponível é \Delta z = z_1 - z_2 = 3{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Apresentando e explicando o Teorema de Bernoulli (forma que vamos usar).
  • Bernoulli entre os pontos 1 e 2 escreve: \frac{p_1}{\rho}+\frac{v_1^2}{2}+g z_1=\frac{p_2}{\rho}+\frac{v_2^2}{2}+g z_2.Onde:
    • p é a pressão absoluta no ponto (em Pa),
    • \rho é a massa específica do fluido (para água \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3}, mas não precisaremos do valor explícito aqui),
    • v é a velocidade do fluido no ponto (m/s),
    • g é a aceleração da gravidade ( g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
    • z é a cota vertical do ponto (m).
  • Aplicando as hipóteses: p_1=p_2 (cancelam), v_1\approx0. Assim obtemos: \frac{v_2^2}{2}=g(z_1-z_2).Resolvendo para v_2: v_2=\sqrt{2g(z_1-z_2)}.
  • Substituindo \Delta z=3{,}0\\ \mathrm{m} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}: v_2=\sqrt{2\cdot9{,}81\cdot3{,}0}=\sqrt{58{,}86}\approx7{,}67\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo da área da seção da tubulação em (2) e conversões (faço passo a passo para não errar na prova).
  • Converter o diâmetro de polegadas para metros. Sabendo 1\\ \text{polegada}=0{,}0254\\ \mathrm{m}, d=\tfrac{1}{2}\\ \text{polegada}=0{,}5\times0{,}0254\\ \mathrm{m}=0{,}0127\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção circular: A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi(0{,}0127)^2}{4}.Calculemos: d^2=(0{,}0127)^2=0{,}00016129\\ \mathrm{m^2},
A=\frac{\pi\cdot0{,}00016129}{4}\approx1{,}267\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Cálculo da vazão volumétrica Q.
  • Fórmula de continuidade para vazão volumétrica: Q=A\,v_2.
  • Substituindo A\approx1{,}267\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2} e v_2\approx7{,}67\\ \mathrm{m/s}: Q \approx 1{,}267\times10^{-4}\times7{,}67 \approx 9{,}72\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Conversões úteis (para comparação com valores do dia a dia): Q\approx9{,}72\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}=0{,}972\\ \mathrm{L/s}\approx58{,}3\\ \mathrm{L/min}.

Resposta

\displaystyle Q=9{,}72\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}

Exercícios relacionados