Exercício R.2.1.5. Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa superior move-se com velocidade de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, equanto que a inferior está imóvel. Considerando que um óleo ( v=0,15 stokes e \rho= 905 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) ocupa o espaço entre elas, determinar a tensão de cizalhamento que agirá sobre o óleo.
v=0,15 stokes =0,15 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}=0,15 \frac{\mathrm{~cm}^{2}}{\mathrm{~s}} \times 10^{-4} \frac{\mathrm{~m}^{2}}{\mathrm{~cm}^{2}}=1,5 \times 10^{-5} \frac{\mathrm{~m}^{2}}{\mathrm{~s}}
\mu=v \cdot \rho=1,5 \times 10^{-5} \times 905=0,0136 \frac{\mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s}}{\mathrm{~m}^{2}}
\tau=\mu . \frac{v_{0}}{e}=0,0136 \frac{\mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s}}{\mathrm{~m}^{2}} \times \frac{4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}}{0,003 \mathrm{~m}}=18,1 \frac{\mathrm{~N}}{\mathrm{~m}^{2}}=18,1 \mathrm{~Pa}

Passo 1

Primeiro vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • distância entre as placas: e=3\\ \text{mm}=0,003\\ \text{m},
  • velocidade da placa superior: V_{0}=4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},
  • placa inferior imóvel: velocidade 0,
  • viscosidade cinemática do óleo: \nu=0{,}15\\ \text{stokes} (o enunciado também já mostrou a conversão que vamos usar),
  • densidade do óleo: \rho=905\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
O que o enunciado pede:
  • determinar a tensão de cisalhamento que age sobre o óleo (ou seja, a tensão de cisalhamento na camada de fluido gerada pelo movimento da placa superior).

Passo 2

Converter e interpretar a viscosidade cinemática \nu. Explicando o conceito de forma simples: \nu (viscosidade cinemática) mede a “viscosidade por unidade de densidade” e tem unidades de \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}. A unidade stokes é antiga, com conversão
1\\ \text{stoke}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
Aplicando ao valor dado:
\nu=0{,}15\\ \text{stokes}=0{,}15\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}=1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.

Passo 3

Calcular a viscosidade dinâmica \mu. Aula rápida: para fluidos newtonianos a viscosidade dinâmica \mu (também chamada apenas de viscosidade) relaciona-se com a cinemática por
\mu=\nu\cdot\rho,
onde \mu tem unidades \mathrm{N\cdot s}/\mathrm{m}^{2} (ou \mathrm{Pa\cdot s}). Substituindo os valores que temos:
\mu=(1{,}5\times10^{-5})\cdot 905 = 1{,}3575\times10^{-2}\\ \mathrm{N\cdot s}/\mathrm{m}^{2}.
Arredondando de forma prática para a prova, pode-se usar \mu\approx0{,}0136\\ \mathrm{N\cdot s}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Explicar a fórmula da tensão de cisalhamento e seu uso no problema. Conceito: para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento \tau é proporcional ao gradiente de velocidade perpendicular ao cisalhamento, isto é
\tau=\mu\;\frac{du}{dy},
onde u é a componente de velocidade paralela às placas e y é a coordenada perpendicular às placas.
No caso das duas placas paralelas com movimento da placa superior e a inferior parada (fluxo tipo Couette, regime laminar estacionário e sem pressão), o perfil de velocidade entre as placas é linear:
u(y)=V_{0}\frac{y}{e},
tomando y=0 na placa inferior e y=e na placa superior. Então o gradiente de velocidade é constante:
\frac{du}{dy}=\frac{V_{0}}{e}.
Portanto a tensão de cisalhamento é simplesmente
\tau=\mu\;\frac{V_{0}}{e}.
Aqui:
  • \tau é a tensão de cisalhamento ( \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} ou \mathrm{Pa}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{N\cdot s}/\mathrm{m}^{2}),
  • V_{0} é a velocidade da placa superior ( \mathrm{m}/\mathrm{s}),
  • e é a separação entre placas ( \mathrm{m}).

Passo 5

Aplicar a fórmula com os números que já calculamos. Usando \mu=1{,}3575\times10^{-2}\\ \mathrm{N\cdot s}/\mathrm{m}^{2}, V_{0}=4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e e=0{,}003\\ \mathrm{m}:
\tau=1{,}3575\times10^{-2}\cdot\frac{4}{0{,}003}.
Calcule o quociente da velocidade pela distância:
\frac{4}{0{,}003}=1333{,}333\ldots\\ \mathrm{s}^{-1}.
Multiplicando:
\tau=1{,}3575\times10^{-2}\times1333{,}333\ldots=18{,}1\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Verificação de unidades e arredondamento. Unidades:
\mu em \mathrm{N\cdot s}/\mathrm{m}^{2} vezes 1/\mathrm{s} \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}, que são \mathrm{Pa} — coerente. Arredondando para dois algarismos significativos (compatível com dados iniciais) obtemos \tau\approx18{,}1\\ \mathrm{Pa}.
Agora respira fundo: está feito — a conta bate com a solução sugerida no enunciado.

Resposta

\tau=18{,}1\\ \mathrm{Pa}

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