(valor 2,5 pontos) Um tubo de aço ( \mathrm{k}_{\text {aço }}=42,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}ç ) com diâmetro interno de 2^{\prime \prime} e espessura de 0,154^{\prime \prime}\left(1^{\prime \prime}=25,4 \mathrm{~mm}\right) transporta vapor de água a 121^{\circ} \mathrm{C} produzido em uma caldeira com a queima de bagaço de cana em uma destilaria. O tubo em questão é isolado com uma camada de 2^{\prime \prime} de revestimento de magnésio ( \mathrm{k}_{\text {mag }}=0,069 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) e uma outra camada externa de 2^{\prime \prime} de cortiça ( \mathrm{k}_{\text {cortiça }}=0,052 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}ç ). Calcular a perda de calor por unidade de comprimento ( \mathrm{q}^{\prime} ) para o exterior quando a temperatura da parede externa é 32^{\circ} \mathrm{C}.
q_{\text {condução }}=\frac{\Delta T}{R}=\frac{\Delta T}{\frac{\ln \left(\frac{r_{e}}{r_{i}}\right)}{2 \pi \cdot k \cdot L}} \quad q^{\prime}=\frac{q}{L}çã

Passo 1

O enunciado pede: calcular a perda de calor por unidade de comprimento q' do tubo (fluxo térmico radial por metro de comprimento) entre o vapor a 121^\circ\mathrm{C} e a superfície externa cuja temperatura é 32^\circ\mathrm{C}.\n
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Condutividade do aço: } k_{\text{aço}}=42{,}5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\\\ &\text{Diâmetro interno do tubo: } 2''\\ (\text{polegadas})\\\ &\text{Espessura da parede do tubo (aço): } 0{,}154''\\\ &\text{Revestimento interno de magnésio: espessura } 2''\text{, }k_{\text{mag}}=0{,}069\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\\\ &\text{Camada externa de cortiça: espessura } 2''\text{, }k_{\text{cortiça}}=0{,}052\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\\\ &\text{Temperatura do vapor (interno): } T_{\text{int}}=121^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Temperatura da parede externa: } T_{\text{ext}}=32^\circ\mathrm{C} \end{aligned}ççâçéçç
Observação: 1''=25{,}4\\ \mathrm{mm}.\n
Não há dados de coeficiente convectivo; o enunciado fornece a temperatura externa da superfície, então trataremos o problema como condução radial estacionária através de camadas cilíndricas concêntricas, entre a superfície interna a 121^\circ\mathrm{C} (assumida como temperatura do vapor) e a superfície externa a 32^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Converter todas as espessuras/diâmetros para unidades do SI (metros).\n
Diâmetro interno:
\text{diâmetro interno}=2''=2\cdot 25{,}4\\ \mathrm{mm}=50{,}8\\ \mathrm{mm}=0{,}0508\\ \mathrm{m}.â
Raio interno (metade do diâmetro):
r_1=\frac{0{,}0508}{2}=0{,}0254\\ \mathrm{m}.
Espessura da parede de aço:
t_{\text{aço}}=0{,}154''=0{,}154\cdot 25{,}4\\ \mathrm{mm}=3{,}9116\\ \mathrm{mm}=0{,}0039116\\ \mathrm{m}.ç
Raio externo do tubo de aço (superfície aço/magnésio):
r_2=r_1+t_{\text{aço}}=0{,}0254+0{,}0039116=0{,}0293116\\ \mathrm{m}.ç
Espessura da camada de magnésio:
t_{\text{mag}}=2''=50{,}8\\ \mathrm{mm}=0{,}0508\\ \mathrm{m}.
Raio externo após magnésio:
r_3=r_2+t_{\text{mag}}=0{,}0293116+0{,}0508=0{,}0801116\\ \mathrm{m}.
Espessura da cortiça:
t_{\text{cortiça}}=2''=0{,}0508\\ \mathrm{m}.ç
Raio externo total (superfície externa da cortiça):
r_4=r_3+t_{\text{cortiça}}=0{,}0801116+0{,}0508=0{,}1309116\\ \mathrm{m}.ç

Passo 3

Relembrar a fórmula de condução radial em cilindros concêntricos e interpretar variáveis (aula rápida e concreta).\n
Para condução radial estacionária através de uma casca cilíndrica homogênea, a resistência térmica de condução por comprimento L é
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{externo}}}{r_{\text{interno}}}\right)}{2\pi k L}.
Explicação das variáveis:
  • r_{\text{interno}} e r_{\text{externo}} são os raios interno e externo da casca cilíndrica (m);
  • k é a condutividade térmica do material (W/(m·K));
  • L é o comprimento do cilindro (m);
  • R_{\text{cond}} tem unidades K/W (para o comprimento L).\n
    No nosso caso queremos a perda por unidade de comprimento q'=\dfrac{q}{L}. Para camadas concêntricas em série, as resistências (por unidade de comprimento) somam-se:
R'_{\text{total}}=R'_{\text{aço}}+R'_{\text{mag}}+R'_{\text{cortiça}},çç
onde cada R'=\dfrac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k} (note: já por unidade de comprimento, sem L no denominador). Então
q'=\frac{q}{L}=\frac{\Delta T}{R'_{\text{total}}}=\frac{T_{\text{int}}-T_{\text{ext}}}{R'_{\text{total}}}.
Aqui \Delta T=T_{\text{int}}-T_{\text{ext}}=121^\circ\mathrm{C}-32^\circ\mathrm{C}=89\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular cada resistência por unidade de comprimento usando as fórmulas e os dados numéricos (mostrando contas passo a passo).\n
Resistência da parede de aço (entre r_1 e r_2):
R'_{\text{aço}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k_{\text{aço}}} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}0293116}{0{,}0254}\right)}{2\pi\cdot 42{,}5}.çç
Calcule o numerador:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}0293116}{0{,}0254}\right)=\ln(1{,}153976)\approx 0{,}143335.
Calcule o denominador:
2\pi\cdot 42{,}5 \approx 267{,}035.
Portanto
R'_{\text{aço}}\approx \frac{0{,}143335}{267{,}035}\approx 5{,}37\times 10^{-4}\\ \mathrm{K/W}.ç
Resistência da camada de magnésio (entre r_2 e r_3):
R'_{\text{mag}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{2\pi k_{\text{mag}}} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}0801116}{0{,}0293116}\right)}{2\pi\cdot 0{,}069}.
Calcule o numerador:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}0801116}{0{,}0293116}\right)=\ln(2{,}733839)\approx 1{,}0050.
Calcule o denominador:
2\pi\cdot 0{,}069\approx 0{,}433540.
Portanto
R'_{\text{mag}}\approx \frac{1{,}0050}{0{,}433540}\approx 2{,}320\\ \mathrm{K/W}.
Resistência da camada de cortiça (entre r_3 e r_4):
R'_{\text{cortiça}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_4}{r_3}\right)}{2\pi k_{\text{cortiça}}} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}1309116}{0{,}0801116}\right)}{2\pi\cdot 0{,}052}.çç
Calcule o numerador:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}1309116}{0{,}0801116}\right)=\ln(1{,}634267)\approx 0{,}4900.
Calcule o denominador:
2\pi\cdot 0{,}052\approx 0{,}326726.
Portanto
R'_{\text{cortiça}}\approx \frac{0{,}4900}{0{,}326726}\approx 1{,}500\\ \mathrm{K/W}.ç

Passo 5

Somar as resistências por unidade de comprimento e calcular q'.\n
R'_{\text{total}}=R'_{\text{aço}}+R'_{\text{mag}}+R'_{\text{cortiça}} \approx 5{,}37\times 10^{-4}+2{,}320+1{,}500 \approx 3{,}820\\ \mathrm{K/W}.çç
Temperatura diferença:
\Delta T = 121^\circ\mathrm{C}-32^\circ\mathrm{C}=89\\ \mathrm{K}.
Fluxo por unidade de comprimento:
q'=\frac{\Delta T}{R'_{\text{total}}}=\frac{89}{3{,}820}\approx 23{,}3\\ \mathrm{W/m}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida (motivação didática).\n
  • A maior parte da resistência térmica está nas camadas isolantes (magnésio e cortiça) por terem condutividades muito menores que o aço e espessuras grandes; por isso o termo da parede de aço é desprezível frente às outras resistências (veja R'_{\text{aço}}\approx 5{,}4\times 10^{-4}ç frente a 2{,}32 e 1{,}50).\n
  • O resultado q'\approx 23{,}3\\ \mathrm{W/m} significa que cada metro de tubo perde aproximadamente 23{,}3\\ \mathrm{W} para o exterior dadas as temperaturas de contorno fornecidas.

Resposta

q' \approx 23{,}3\\ \mathrm{W/m}

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