Para qual valor positivo de c, a equação ln x=c x^5 tem apenas uma solução ?
(A) 15 e
(B) 14 e
(C) 12 e
(D) 13 e
(E) NRA

Passo 1

O enunciado pede o valor positivo de c tal que a equação
ln x = c,x^5
tenha exatamente uma solução em x>0. Trata-se de estudar a interseção das funções f(x)=ln x e g(x)=c,x^5. Para haver uma única solução, deve existir um ponto de tangência entre elas, ou seja, um ponto onde além de f(x)=g(x) também vale f'(x)=g'(x).

Passo 2

Definimos a função
h(x) = ln x - c,x^5
As soluções de h(x)=0 equivalem às soluções de ln x = c,x^5. Para obter exatamente uma solução (de multiplicidade dois), buscamos um x0>0 tal que
h(x0)=0 e h'(x0)=0

Passo 3

Calculemos a derivada:
h'(x) = ddx(ln x) - ddx(c,x^5) = 1x - 5c,x^4
Impondo h'(x0)=0 obtemos
1x0 - 5c,x0^4 = 0 Longrightarrow 1x0 = 5c,x0^4 Longrightarrow c = 15,x0^5

Passo 4

Impondo também h(x0)=0, isto é,
ln x0 - c,x0^5 = 0,
substituímos c = 1/(5x0^5):
ln x0 - 15x0^5,x0^5 = ln x0 - 15 = 0 Longrightarrow ln x0 = 15 Longrightarrow x0 = e^1/5

Passo 5

Finalmente, voltamos em c = 1/(5,x0^5) com x0 = e^1/5:
c = 15,(e^1/5)^5 = 15,e = 15e

Resposta

(A) 15e

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