Uma empresa deseja acumular R$100.000,00 em 5 anos realizando depósitos mensais a uma taxa de
ao mês. Qual deve ser o valor do depósito?
Passo 1
O enunciado pede que se determine o valor do depósito mensal que, realizado todo mês durante 5 anos, acumula um montante de R$ 100.000,00 a uma taxa de
ao mês. Dados fornecidos:
- Montante desejado:
. - Tempo:
anos. - Frequência dos depósitos: mensal.
- Taxa nominal por período (mês):
ao mês.
Pergunta: Qual deve ser o valor do depósito mensal (chamaremos de)?
Passo 2
Decisão sobre o modelo de cálculo (sem ficar em fórum de discussão): a forma padrão para esse tipo de problema é usar a fórmula do valor futuro (montante) de uma série de depósitos iguais feitos ao final de cada período — isto é, uma anuidade ordinária. Vou assumir que os depósitos são feitos ao final de cada mês (se o enunciado quisesse depósitos no início do mês, usar-se-ia anuidade devedora e o resultado seria ligeiramente maior). A partir dessa hipótese vamos prosseguir.
Passo 3
Apresentação da fórmula e suas variáveis, com derivação curta e didática.
- Definições:
-
= valor do depósito mensal (o que queremos achar). -
= taxa por período (mês), em forma decimal. -
= número total de depósitos (número de meses). -
= montante final desejado após depósitos.
-
- Para uma anuidade ordinária (depósitos no final de cada mês), cada depósito
acumula juros por um número decrescente de meses. O montante total é a soma geométrica:
Essa soma é uma progressão geométrica com razão
e
termos. A soma da PG é
Isso é a fórmula padrão do valor futuro de uma anuidade ordinária. Para encontrar
isolamos:
Passo 4
Calcular os parâmetros numéricos:
- Converter taxa percentual para decimal:
- Número de meses em 5 anos:
Passo 5
Calcular o fator
e o denominador:
- Primeiro:
- Elevando a potência:
(esse valor é obtido por cálculo exponencial; pode-se usar logaritmos ou calculadora na prova)
- Então:
- E o quociente
é
Passo 6
Calcular
usando a fórmula:
Interpretação: é necessário depositar aproximadamente R$
todo mês, no final de cada mês, para que em 5 anos o montante atinja R$
à taxa de
ao mês.
Resposta
R$