Uma empresa deseja acumular R$100.000,00 em 5 anos realizando depósitos mensais a uma taxa de 0,9 \% ao mês. Qual deve ser o valor do depósito?

Passo 1

O enunciado pede que se determine o valor do depósito mensal que, realizado todo mês durante 5 anos, acumula um montante de R$ 100.000,00 a uma taxa de 0,9\% ao mês. Dados fornecidos:
  • Montante desejado: S= \text{R\$ }100.000{,}00.
  • Tempo: 5 anos.
  • Frequência dos depósitos: mensal.
  • Taxa nominal por período (mês): i=0{,}9\% ao mês.
    Pergunta: Qual deve ser o valor do depósito mensal (chamaremos de P)?

Passo 2

Decisão sobre o modelo de cálculo (sem ficar em fórum de discussão): a forma padrão para esse tipo de problema é usar a fórmula do valor futuro (montante) de uma série de depósitos iguais feitos ao final de cada período — isto é, uma anuidade ordinária. Vou assumir que os depósitos são feitos ao final de cada mês (se o enunciado quisesse depósitos no início do mês, usar-se-ia anuidade devedora e o resultado seria ligeiramente maior). A partir dessa hipótese vamos prosseguir.

Passo 3

Apresentação da fórmula e suas variáveis, com derivação curta e didática.
  • Definições:
    • P = valor do depósito mensal (o que queremos achar).
    • i = taxa por período (mês), em forma decimal.
    • n = número total de depósitos (número de meses).
    • S = montante final desejado após n depósitos.
  • Para uma anuidade ordinária (depósitos no final de cada mês), cada depósito P acumula juros por um número decrescente de meses. O montante total é a soma geométrica:
S = P\bigl((1+i)^{n-1} + (1+i)^{n-2} + \cdots + (1+i)^1 + 1\bigr).
Essa soma é uma progressão geométrica com razão (1+i) e n termos. A soma da PG é
S = P\cdot\frac{(1+i)^n - 1}{i}.
Isso é a fórmula padrão do valor futuro de uma anuidade ordinária. Para encontrar P isolamos:
P = S\cdot\frac{i}{(1+i)^n - 1}.

Passo 4

Calcular os parâmetros numéricos:
  • Converter taxa percentual para decimal:
i = 0{,}9\% = 0{,}009.
  • Número de meses em 5 anos:
n = 5\\ \text{anos}\times 12\\ \frac{\text{meses}}{\text{ano}} = 60.

Passo 5

Calcular o fator (1+i)^n e o denominador:
  • Primeiro:
1+i = 1+0{,}009 = 1{,}009.
  • Elevando a potência:
(1+i)^n = (1{,}009)^{60} \approx 1{,}71285.
(esse valor é obtido por cálculo exponencial; pode-se usar logaritmos ou calculadora na prova)
  • Então:
(1+i)^n - 1 \approx 1{,}71285 - 1 = 0{,}71285.
  • E o quociente \dfrac{i}{(1+i)^n - 1} é
\frac{i}{(1+i)^n - 1} \approx \frac{0{,}009}{0{,}71285} \approx 0{,}0126235.

Passo 6

Calcular P usando a fórmula:
P = S\cdot\frac{i}{(1+i)^n - 1} \approx 100.000{,}00 \times 0{,}0126235 \approx 1.262{,}35.
Interpretação: é necessário depositar aproximadamente R$ 1.262{,}35 todo mês, no final de cada mês, para que em 5 anos o montante atinja R$ 100.000{,}00 à taxa de 0{,}9\% ao mês.

Resposta

R$ 1.262{,}35

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