(Valor 3.0 pts) Considere o sistema linear nas variáveis
e
dado por:
(a) Determinar, se existem, os valores de
para o qual o sistema tem solução única, mais de uma solução (indeterminado) ou não tenha solução.
(b) Encontrar a solução em forma paramétrica do sistema para
.
(b) Encontrar a solução em forma paramétrica do sistema para
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas
:
Perguntas que o problema faz:
- Determinar, em função de
, quando o sistema tem solução única, quando tem mais de uma solução (indeterminado) e quando não tem solução (inconsistente). - Para
, encontrar a solução em forma paramétrica.
Informações relevantes fornecidas:
- Há um parâmetro
que aparece tanto na matriz de coeficientes quanto no termo independente. - Para decidir unicidade/indeterminação/inconsistência precisamos analisar a matriz dos coeficientes e a compatibilidade com o vetor de termos independentes.
Passo 2
Vamos escrever a matriz dos coeficientes
e o vetor dos termos independentes
:
Uma maneira rápida de saber se há solução única é calcular o determinante de
. Se
então há solução única; se
então ou não há solução ou há infinitas soluções (depende da compatibilidade com
). Agora vamos calcular
.
Passo 3
Cálculo do determinante de
. Para uma matriz
podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar uma expansão pela primeira linha (passo a passo):
Agora avalio cada determinante
:
Substituindo:
Portanto
Passo 4
Interpretação do determinante e consequência para o sistema:
- Se
então o sistema tem solução única. - Se
então quando , ou seja quando . Nesses casos precisamos analisar compatibilidade (se existe ou não solução e se for solução, se é infinita).
Concluímos provisoriamente:
- Para
: solução única. - Para
: analisar separadamente (pode ser indeterminado ou impossível).
Passo 5
Análise do caso
. Substituo
no sistema:
Vou combinar equações para verificar compatibilidade. Somando a primeira com a segunda:
Com
, da terceira equação:
Mas usando
na primeira equação:
Obtemos
e
ao mesmo tempo — contradição. Logo não existe nenhum vetor
que satisfaça todas as equações quando
. Portanto para
o sistema é incompatível (não tem solução).
Passo 6
Análise do caso
. Substituo
no sistema:
Observe que a terceira equação multiplicada por
dá exatamente a segunda:
que é a segunda equação. Portanto as equações 2 e 3 são dependentes (a mesma informação). Assim temos apenas duas equações independentes para três incógnitas, o que normalmente leva a infinitas soluções (um grau de liberdade, parâmetro livre) desde que as equações não sejam contraditórias — e não são, pois houve dependência sem contradição. Agora vamos resolver convenientemente para obter a forma paramétrica.
Passo 7
Resolver explicitamente para
. Tomamos as duas equações independentes, por exemplo a primeira e a terceira:
Da primeira equação isolamos
:
Substituímos esse
na terceira equação:
Isolando
:
Agora
fica
Ponho
como parâmetro livre, digamos
(com
). Assim a solução em forma paramétrica é
com
parâmetro real. Essa família de soluções satisfaz todas as equações quando
.
Resposta
(a) Para
o sistema tem solução única. \nPara
o sistema não tem solução (incompatível). \nPara
o sistema tem infinitas soluções (indeterminado). \n(b) Para
a solução paramétrica é \n
para
.