(Valor 3.0 pts) Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z dado por:
\begin{aligned} k x+y-2 z & =0 \\\\ -x-y+k z & =1 \\\ x+y+z & =k \end{aligned}
(a) Determinar, se existem, os valores de a para o qual o sistema tem solução única, mais de uma solução (indeterminado) ou não tenha solução.
(b) Encontrar a solução em forma paramétrica do sistema para k=-1.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas x,y,z:
\begin{aligned} k x+y-2 z & =0 \\\\ -x-y+k z & =1 \\\ x+y+z & =k \end{aligned}
Perguntas que o problema faz:
  1. Determinar, em função de k, quando o sistema tem solução única, quando tem mais de uma solução (indeterminado) e quando não tem solução (inconsistente).
  2. Para k=-1, encontrar a solução em forma paramétrica.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há um parâmetro k que aparece tanto na matriz de coeficientes quanto no termo independente.
  • Para decidir unicidade/indeterminação/inconsistência precisamos analisar a matriz dos coeficientes e a compatibilidade com o vetor de termos independentes.

Passo 2

Vamos escrever a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos independentes b:
A=\begin{pmatrix} k & 1 & -2 \\\\ -1 & -1 & k \\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}0\\\ 1\k\end{pmatrix}.
Uma maneira rápida de saber se há solução única é calcular o determinante de A. Se \det(A)\neq 0 então há solução única; se \det(A)=0 então ou não há solução ou há infinitas soluções (depende da compatibilidade com b). Agora vamos calcular \det(A).

Passo 3

Cálculo do determinante de A. Para uma matriz 3\times3 podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar uma expansão pela primeira linha (passo a passo):
\det(A) = k\det\begin{pmatrix}-1 & k \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}-1 & k \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} +(-2)\det\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Agora avalio cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & k \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} = (-1)\cdot 1 - k\cdot 1 = -1 - k,
\det\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} = (-1)\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = -1 +1 = 0.
Substituindo:
\det(A)=k(-1-k) -1(-1-k) +(-2)\cdot 0 = -k - k^2 +1 + k = 1 - k^2.
Portanto
\det(A)=1-k^2.]

Passo 4

Interpretação do determinante e consequência para o sistema:
  • Se \det(A)\neq 0 então o sistema tem solução única.
  • Se \det(A)=0 então \det(A)=0 quando 1-k^2=0, ou seja quando k=\pm 1. Nesses casos precisamos analisar compatibilidade (se existe ou não solução e se for solução, se é infinita).
Concluímos provisoriamente:
  • Para k\neq \pm 1: solução única.
  • Para k=\pm 1: analisar separadamente (pode ser indeterminado ou impossível).

Passo 5

Análise do caso k=1. Substituo k=1 no sistema:
\begin{aligned} x+y-2z&=0,\\\\ -x-y+z&=1,\\\ x+y+z&=1. \end{aligned}
Vou combinar equações para verificar compatibilidade. Somando a primeira com a segunda:
(x+y-2z)+(-x-y+z)=0+1 \quad\Rightarrow\quad -z=1 \quad\Rightarrow\quad z=-1.
Com z=-1, da terceira equação:
x+y+(-1)=1 \quad\Rightarrow\quad x+y=2.
Mas usando z=-1 na primeira equação:
x+y-2(-1)=0 \quad\Rightarrow\quad x+y+2=0 \quad\Rightarrow\quad x+y=-2.
Obtemos x+y=2 e x+y=-2 ao mesmo tempo — contradição. Logo não existe nenhum vetor (x,y,z) que satisfaça todas as equações quando k=1. Portanto para k=1 o sistema é incompatível (não tem solução).

Passo 6

Análise do caso k=-1. Substituo k=-1 no sistema:
\begin{aligned} - x+y-2z&=0,\\\\ - x-y- z&=1,\\\ x+y+ z&=-1. \end{aligned}
Observe que a terceira equação multiplicada por -1 dá exatamente a segunda:
-(x+y+z) = -x-y-z = -(-1) = 1,
que é a segunda equação. Portanto as equações 2 e 3 são dependentes (a mesma informação). Assim temos apenas duas equações independentes para três incógnitas, o que normalmente leva a infinitas soluções (um grau de liberdade, parâmetro livre) desde que as equações não sejam contraditórias — e não são, pois houve dependência sem contradição. Agora vamos resolver convenientemente para obter a forma paramétrica.

Passo 7

Resolver explicitamente para k=-1. Tomamos as duas equações independentes, por exemplo a primeira e a terceira:
\begin{aligned} - x+y-2z&=0,\\\ x+y+ z&=-1. \end{aligned}
Da primeira equação isolamos y:
- x+y-2z=0 \quad\Rightarrow\quad y = x+2z.
Substituímos esse y na terceira equação:
x+(x+2z)+z=-1 \quad\Rightarrow\quad 2x+3z=-1.
Isolando x:
2x=-1-3z \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-1-3z}{2}.
Agora y fica
y = x+2z = \frac{-1-3z}{2} + 2z = \frac{-1-3z+4z}{2} = \frac{-1+z}{2}.
Ponho z como parâmetro livre, digamos z=t (com t\in\mathbb{R}). Assim a solução em forma paramétrica é
\begin{aligned} x &= \frac{-1-3t}{2},\\\ y &= \frac{-1+t}{2},\\\ z &= t, \end{aligned}
com t parâmetro real. Essa família de soluções satisfaz todas as equações quando k=-1.

Resposta

(a) Para k\neq \pm 1 o sistema tem solução única. \nPara k=1 o sistema não tem solução (incompatível). \nPara k=-1 o sistema tem infinitas soluções (indeterminado). \n(b) Para k=-1 a solução paramétrica é \n \,x=\dfrac{-1-3t}{2},\;y=\dfrac{-1+t}{2},\;z=t para t\in\mathbb{R}.

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