Considere as bases \beta=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} e \beta^{\prime}=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3} relacionadas da seguinte forma:
Também é dado que [u]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix}. A pergunta é verificar se [u]_{\beta'}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]3\\[2pt]5\end{pmatrix} é correto (ou seja, se a afirmativa é Verdadeira ou Falsa). Listei aqui explicitamente as informações importantes do enunciado para não perder nada.]
Passo 2
Explicação conceitual curta e necessária: cada vetor w_j foi dado como combinação linear das u_i. Se montarmos a matriz cujas colunas são as coordenadas dos w_j em relação à base \beta, essa matriz transforma coordenadas em \beta' para coordenadas em \beta. Formalmente, se [v]_{\beta'}=b então
[v]_{\beta}=S\,b,
onde S é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos w_j na base \beta. Assim, para encontrar [v]_{\beta'} a partir de [v]_{\beta} resolvemos S\,b=[v]_{\beta} (ou alternativamente b=S^{-1}[v]_{\beta}, quando S for invertível). Isso é apenas a tradução algébrica de escrever a mesma combinação linear em duas bases diferentes.
Passo 3
Agora construímos explicitamente a matriz S. As coordenadas dos w_j em \beta são, pelas fórmulas do enunciado: