QUESTÃO 4

Considere as bases \beta=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} e \beta^{\prime}=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3} relacionadas da seguinte forma:
\left\{\begin{array}{l} w_{1}=u_{1}-u_{2}-u_{3} \\\ w_{2}=2 u_{1}-u_{2}+3 u_{3} \\\ w_{3}=-u_{1}+u_{2}-2 u_{3} \end{array}\right.
Sabendo que [u]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right], podemos concluir que [u]_{\beta^{\prime}}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 3 \\\\ 5\end{array}\right].
\bigcirc Verdadeiro
\bigcirc Falso

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3: \beta=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} e \beta'=\{w_{1},w_{2},w_{3}\}, relacionadas por
\left\{\begin{array}{l} w_{1}=u_{1}-u_{2}-u_{3},\\[4pt] w_{2}=2u_{1}-u_{2}+3u_{3},\\[4pt] w_{3}=-u_{1}+u_{2}-2u_{3}. \end{array}\right.
Também é dado que [u]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix}. A pergunta é verificar se [u]_{\beta'}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]3\\[2pt]5\end{pmatrix} é correto (ou seja, se a afirmativa é Verdadeira ou Falsa). Listei aqui explicitamente as informações importantes do enunciado para não perder nada.]

Passo 2

Explicação conceitual curta e necessária: cada vetor w_j foi dado como combinação linear das u_i. Se montarmos a matriz cujas colunas são as coordenadas dos w_j em relação à base \beta, essa matriz transforma coordenadas em \beta' para coordenadas em \beta. Formalmente, se [v]_{\beta'}=b então
[v]_{\beta}=S\,b,
onde S é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos w_j na base \beta. Assim, para encontrar [v]_{\beta'} a partir de [v]_{\beta} resolvemos S\,b=[v]_{\beta} (ou alternativamente b=S^{-1}[v]_{\beta}, quando S for invertível). Isso é apenas a tradução algébrica de escrever a mesma combinação linear em duas bases diferentes.

Passo 3

Agora construímos explicitamente a matriz S. As coordenadas dos w_j em \beta são, pelas fórmulas do enunciado:
[w_{1}]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]-1\end{pmatrix},\qquad [w_{2}]_{\beta}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad [w_{3}]_{\beta}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix}.
Portanto
S=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 3 & -2 \end{pmatrix}.
Pelo raciocínio do passo anterior, se chamarmos b=\begin{pmatrix}b_1\\[2pt]b_2\\[2pt]b_3\end{pmatrix}=[u]_{\beta'}, então devemos ter
S\,b=[u]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Escrevendo o sistema linear equivalente a S b=[1\;2\;-1]^T\), obtemos \[\begin{cases} b_1 + 2b_2 - b_3 = 1,\\[4pt] - b_1 - b_2 + b_3 = 2,\\[4pt] - b_1 + 3b_2 -2b_3 = -1. \end{cases}
Vou resolver passo a passo por substituição (é simples e dá para fazer sem calculadora).
Da primeira equação isolamos (b_1]:
b_1 = 1 - 2b_2 + b_3.]

Passo 5

Substituímos essa expressão de b_1 na segunda equação:
-(1-2b_2+b_3) - b_2 + b_3 = 2.
Fazendo as contas:
-1 + 2b_2 - b_3 - b_2 + b_3 = 2 \quad\Longrightarrow\quad -1 + b_2 = 2.
Logo
b_2 = 3.

Passo 6

Com b_2=3, voltamos à expressão de b_1:
b_1 = 1 - 2\cdot 3 + b_3 = 1 -6 + b_3 = -5 + b_3.
Agora substituímos b_1 (em termos de b_3) e b_2=3 na terceira equação:
-(-5+b_3) + 3\cdot 3 -2b_3 = -1.
Calcule passo a passo:
5 - b_3 + 9 -2b_3 = -1 \quad\Longrightarrow\quad 14 -3b_3 = -1.
Assim
-3b_3 = -15 \quad\Longrightarrow\quad b_3 = 5.

Passo 7

Agora obtemos b_1 usando b_3=5:
b_1 = -5 + b_3 = -5 + 5 = 0.
Portanto
[b]_{\beta'}=\begin{pmatrix}b_1\\[2pt]b_2\\[2pt]b_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\[2pt]3\\[2pt]5\end{pmatrix}.
Ou seja, ao resolver S\,b=[u]_{\beta} encontramos exatamente o vetor proposto na afirmação.]

Resposta

Verdadeiro

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