(Valor 2.0 pts ) Considere o subespaço de
gerado por
e
.
(a) O vetor
?
(b) Exiba uma base para
.
(c)
? Por quê?
(a) O vetor
(b) Exiba uma base para
(c)
Passo 1
Enunciado e dados (resumindo e deixando claro o que é pedido):
-
Vetores dados em
:
,
,
,
. -
Perguntas:
(a) O vetorpertence ao subespaço gerado por ?
(b) Exibir uma base para.
(c) Será que? Justifique.
Passo 2
Plano e ideia de cálculo (sem resolver ainda):
- Para saber se um vetor pertence ao span, tentamos escrever esse vetor como combinação linear dos geradores: procurar coeficientes que satisfaçam a equação linear.
- Para achar uma base do span, precisamos eliminar vetores linearmente dependentes entre os geradores e ficar com um conjunto que seja gerador e linearmente independente.
- Vou procurar relações de dependência entre os
(isso costuma simplificar muito) e depois resolver o sistema de equações resultante quando necessário.
Passo 3
Procura direta por relação entre os geradores (identificar dependência):
- Vou testar combinar
e para ver se geram . - Calculo
: Agora faço as contas coordenada a coordenada:
- Observação: esse resultado é exatamente
. Portanto - Conclusão intermediária:
é combinação linear de e , logo é redundante no gerador.
Passo 4
Redução do conjunto gerador e explicação didática sobre dependência:
- Como
está em , qualquer combinação que use pode ser reescrita só com e . - Portanto o subespaço gerado por todos quatro vetores é igual ao gerado pelos três vetores
: - Conceito rápido (didático): um conjunto gera um subespaço se todas as combinações lineares desses vetores cobrem o subespaço; vetores redundantes não aumentam o espaço gerado.
Passo 5
Verificação de independência linear de
:
- Para testar independência, suponha que exista uma combinação linear nula:
Escrevendo coordenada a coordenada (cada número em TeX):
Primeira coordenada:.
Segunda coordenada:.
Terceira coordenada:.
Quarta coordenada:(mesma equação que a terceira). - Da segunda equação vem
. Da terceira vem . Então da primeira . - Assim
é a única solução, logo o conjunto é linearmente independente. - Conclusão:
é um conjunto gerador e linearmente independente — portanto é uma base do subespaço.
Passo 6
Determinar se
pertence ao span (resolvendo a combinação linear):
- Como vimos, basta tentar escrever
como combinação de : - Escrevendo coordenadas, obtém-se o sistema:
primeira:,
segunda:,
terceira:,
quarta:(mesma da terceira). - Da segunda equação vem
. Da terceira vem . Substituindo na primeira: - Achamos soluções
. Logo existe combinação linear que gera , por exemplo: - Conclusão para (a): o vetor pertence ao subespaço.
Passo 7
Resposta para (b) — escolha de base e confirmação:
- Uma base conveniente e já verificada é
- Justificativa curta: esses três vetores geram o subespaço (pois
é combinação de ) e são linearmente independentes (ver Passo 5). Portanto formam base. A dimensão do subespaço é .
Passo 8
Resposta para (c) — comparar com
e justificar:
- A dimensão de
é . - O subespaço gerado tem dimensão
(temos uma base com vetores). - Como
, o subespaço não pode ser todo . - Outro modo de ver: existe vetor em
que não é combinação dos geradores (por exemplo não está no span — tente resolver como no Passo 6 e verá contradição). - Conclusão para (c): não, o span não é
.
Resposta
(a) Sim:
.\n
(b) Uma base é .\n
(c) Não, porque .
(b) Uma base é
(c) Não, porque