(Valor 2.0 pts ) Considere o subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado por \mathbf{u}_{1}=(1,-1,0,0), \mathbf{u}_{2}= (0,0,1,1), \mathbf{u}_{3}=(-2,2,1,1) e \mathbf{u}_{4}=(1,0,0,0).
(a) O vetor (2,-3,2,2) \in\left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \mathbf{u}_{4}\right] ?
(b) Exiba uma base para \left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \mathbf{u}_{4}\right].
(c) \left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \mathbf{u}_{4}\right]=\mathbb{R}^{4} ? Por quê?

Passo 1

Enunciado e dados (resumindo e deixando claro o que é pedido):
  • Vetores dados em \mathbb{R}^{4}:
    \mathbf{u}_{1}=(1,-1,0,0),
    \mathbf{u}_{2}=(0,0,1,1),
    \mathbf{u}_{3}=(-2,2,1,1),
    \mathbf{u}_{4}=(1,0,0,0).
  • Perguntas:
    (a) O vetor (2,-3,2,2) pertence ao subespaço gerado por \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3},\mathbf{u}_{4}?
    (b) Exibir uma base para \left[\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3},\mathbf{u}_{4}\right].
    (c) Será que \left[\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3},\mathbf{u}_{4}\right]=\mathbb{R}^{4}? Justifique.

Passo 2

Plano e ideia de cálculo (sem resolver ainda):
  • Para saber se um vetor pertence ao span, tentamos escrever esse vetor como combinação linear dos geradores: procurar coeficientes que satisfaçam a equação linear.
  • Para achar uma base do span, precisamos eliminar vetores linearmente dependentes entre os geradores e ficar com um conjunto que seja gerador e linearmente independente.
  • Vou procurar relações de dependência entre os \mathbf{u}_i (isso costuma simplificar muito) e depois resolver o sistema de equações resultante quando necessário.

Passo 3

Procura direta por relação entre os geradores (identificar dependência):
  • Vou testar combinar \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2 para ver se geram \mathbf{u}_3.
  • Calculo -2\mathbf{u}_1 + 1\mathbf{u}_2: -2\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 = -2(1,-1,0,0) + (0,0,1,1).Agora faço as contas coordenada a coordenada: -2(1,-1,0,0) = (-2,2,0,0),
(-2,2,0,0) + (0,0,1,1) = (-2,2,1,1).
  • Observação: esse resultado é exatamente \mathbf{u}_3. Portanto \mathbf{u}_3 = -2\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2.
  • Conclusão intermediária: \mathbf{u}_3 é combinação linear de \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2, logo \mathbf{u}_3 é redundante no gerador.

Passo 4

Redução do conjunto gerador e explicação didática sobre dependência:
  • Como \mathbf{u}_3 está em [\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2], qualquer combinação que use \mathbf{u}_3 pode ser reescrita só com \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2.
  • Portanto o subespaço gerado por todos quatro vetores é igual ao gerado pelos três vetores \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4: [\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4]=[\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4].
  • Conceito rápido (didático): um conjunto gera um subespaço se todas as combinações lineares desses vetores cobrem o subespaço; vetores redundantes não aumentam o espaço gerado.

Passo 5

Verificação de independência linear de \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4\}:
  • Para testar independência, suponha que exista uma combinação linear nula: p\mathbf{u}_1 + q\mathbf{u}_2 + r\mathbf{u}_4 = \mathbf{0}.Escrevendo coordenada a coordenada (cada número em TeX):
    Primeira coordenada: p + r = 0.
    Segunda coordenada: -p = 0.
    Terceira coordenada: q = 0.
    Quarta coordenada: q = 0 (mesma equação que a terceira).
  • Da segunda equação vem p=0. Da terceira vem q=0. Então da primeira r=0.
  • Assim p=q=r=0 é a única solução, logo o conjunto é linearmente independente.
  • Conclusão: \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4\} é um conjunto gerador e linearmente independente — portanto é uma base do subespaço.

Passo 6

Determinar se (2,-3,2,2) pertence ao span (resolvendo a combinação linear):
  • Como vimos, basta tentar escrever (2,-3,2,2) como combinação de \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4: a\mathbf{u}_1 + b\mathbf{u}_2 + d\mathbf{u}_4 = (2,-3,2,2).
  • Escrevendo coordenadas, obtém-se o sistema:
    primeira: a + d = 2,
    segunda: -a = -3,
    terceira: b = 2,
    quarta: b = 2 (mesma da terceira).
  • Da segunda equação vem a=3. Da terceira vem b=2. Substituindo a na primeira: 3 + d = 2 \quad\Rightarrow\quad d = -1.
  • Achamos soluções a=3,\; b=2,\; d=-1. Logo existe combinação linear que gera (2,-3,2,2), por exemplo: 3\mathbf{u}_1 + 2\mathbf{u}_2 -1\mathbf{u}_4 = (2,-3,2,2).
  • Conclusão para (a): o vetor pertence ao subespaço.

Passo 7

Resposta para (b) — escolha de base e confirmação:
  • Uma base conveniente e já verificada é \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4\}.
  • Justificativa curta: esses três vetores geram o subespaço (pois \mathbf{u}_3 é combinação de \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2) e são linearmente independentes (ver Passo 5). Portanto formam base. A dimensão do subespaço é 3.

Passo 8

Resposta para (c) — comparar com \mathbb{R}^{4} e justificar:
  • A dimensão de \mathbb{R}^{4} é 4.
  • O subespaço gerado tem dimensão 3 (temos uma base com 3 vetores).
  • Como 3<4, o subespaço não pode ser todo \mathbb{R}^{4}.
  • Outro modo de ver: existe vetor em \mathbb{R}^4 que não é combinação dos geradores (por exemplo (0,0,0,1) não está no span — tente resolver como no Passo 6 e verá contradição).
  • Conclusão para (c): não, o span não é \mathbb{R}^{4}.

Resposta

(a) Sim: (2,-3,2,2)=3\mathbf{u}_1+2\mathbf{u}_2-1\mathbf{u}_4.\n
(b) Uma base é \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4\}.\n
(c) Não, porque \dim\left([\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4]\right)=3<4=\dim(\mathbb{R}^4).

Exercícios relacionados