O enunciado fornece o conjunto \beta formado por quatro matrizes 2\times2 e pergunta se \beta é uma base do espaço V = M_{2}(\mathbb{R}). As informações relevantes são:
A pergunta explícita é: a afirmação " \beta é uma base de V" é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Lembrete importante (aula rápida): uma coleção de vetores é uma base de um espaço vetorial se satisfaz duas coisas simultaneamente: (i) é linearmente independente e (ii) gera (spans) todo o espaço. Para espaços vetoriais finito-dimensionais, se sabemos a dimensão do espaço e o conjunto tem exatamente esse número de vetores, basta verificar independência linear (ou geração) — se são independentes então automaticamente geram, e vice-versa. No caso de M_{2}(\mathbb{R}), toda matriz 2\times2 tem 4 entradas livres, então
\dim M_{2}(\mathbb{R})=4.
Portanto, como \beta tem 4 matrizes, basta verificar se elas são linearmente independentes. Se forem, \beta é base.
Passo 3
Técnica prática para verificar independência: identificamos cada matriz 2\times2 com um vetor em \mathbb{R}^4 pela ordem das entradas, por exemplo usando a ordem (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}). Essa identificação preserva combinações lineares, então as matrizes são independentes se, e somente se, os vetores correspondentes em \mathbb{R}^4 são independentes. Convertendo as matrizes de \beta obtemos os vetores:
Se \det(M)\neq 0, então as colunas são linearmente independentes.]
Passo 4
Vou calcular \det(M). Primeiro aplico operações elementares de linha que facilitam o cálculo; lembre-se: somar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante (essa operação preserva \det). Faço as seguintes trocas de linha (explico cada uma):
Como usei apenas operações do tipo “linha ← linha + c·outra linha”, temos \det(M')=\det(M).]
Passo 6
Com M' é fácil calcular o determinante: desenvolver pela primeira coluna (ou observar que está em forma triangular por blocos). Pela expansão na primeira coluna:
Assim \det(M)=\det(M')=1\cdot\det(N)=8. Como \det(M)\neq 0, as colunas de M são linearmente independentes. Como \beta tem exatamente 4 vetores e \dim M_{2}(\mathbb{R})=4, a independência linear implica que \beta gera V e, portanto, é uma base de V.