\beta=\left\{\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 2 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right)\right\} \text { é uma base de } V=M_{2}(\mathbb{R}) .é
\bigcirc Verdadeiro
\bigcirc Falso

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto \beta formado por quatro matrizes 2\times2 e pergunta se \beta é uma base do espaço V = M_{2}(\mathbb{R}). As informações relevantes são:
\beta=\left\{\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix}\right\}.
A pergunta explícita é: a afirmação " \beta é uma base de V" é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Lembrete importante (aula rápida): uma coleção de vetores é uma base de um espaço vetorial se satisfaz duas coisas simultaneamente: (i) é linearmente independente e (ii) gera (spans) todo o espaço. Para espaços vetoriais finito-dimensionais, se sabemos a dimensão do espaço e o conjunto tem exatamente esse número de vetores, basta verificar independência linear (ou geração) — se são independentes então automaticamente geram, e vice-versa. No caso de M_{2}(\mathbb{R}), toda matriz 2\times2 tem 4 entradas livres, então
\dim M_{2}(\mathbb{R})=4.
Portanto, como \beta tem 4 matrizes, basta verificar se elas são linearmente independentes. Se forem, \beta é base.

Passo 3

Técnica prática para verificar independência: identificamos cada matriz 2\times2 com um vetor em \mathbb{R}^4 pela ordem das entradas, por exemplo usando a ordem (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}). Essa identificação preserva combinações lineares, então as matrizes são independentes se, e somente se, os vetores correspondentes em \mathbb{R}^4 são independentes. Convertendo as matrizes de \beta obtemos os vetores:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.
Para testar independência, monto a matriz M cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & 0 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Se \det(M)\neq 0, então as colunas são linearmente independentes.]

Passo 4

Vou calcular \det(M). Primeiro aplico operações elementares de linha que facilitam o cálculo; lembre-se: somar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante (essa operação preserva \det). Faço as seguintes trocas de linha (explico cada uma):
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_1,
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Aplico-as passo a passo sobre M.

Passo 5

Calculemos as novas linhas:
Linha 1 (invariável):
R_1=(1\; 1\; 2\; -1).
Linha 2:
R_2 - 2R_1 = (2-2\cdot1,\;0-2\cdot1,\;1-2\cdot2,\;1-2\cdot(-1))=(0,\;-2,\;-3,\;3).
Linha 3:
R_3 + R_1 = (-1+1,\;2+1,\;0+2,\;0+(-1))=(0,\;3,\;2,\;-1).
Linha 4:
R_4 - R_1 = (1-1,\;1-1,\;1-2,\;2-(-1))=(0,\;0,\;-1,\;3).
A matriz transformada é
M'=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -2 & -3 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Como usei apenas operações do tipo “linha ← linha + c·outra linha”, temos \det(M')=\det(M).]

Passo 6

Com M' é fácil calcular o determinante: desenvolver pela primeira coluna (ou observar que está em forma triangular por blocos). Pela expansão na primeira coluna:
\det(M') = 1\cdot\det\begin{pmatrix} -2 & -3 & 3\\[4pt] 3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Chamo essa matriz N:
N=\begin{pmatrix} -2 & -3 & 3\\[4pt] 3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Calculo \det(N) por expansão na primeira linha. Os menores (determinantes 2\times2) são:
\begin{aligned} \Delta_{11}&=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-(-1)\cdot(-1)=6-1=5,\\[4pt] \Delta_{12}&=\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}=3\cdot3-(-1)\cdot0=9,\\[4pt] \Delta_{13}&=\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=3\cdot(-1)-2\cdot0=-3. \end{aligned}
Aplicando a regra de sinais da expansão:
\det(N)=(-2)\cdot\Delta_{11}-(-3)\cdot\Delta_{12}+3\cdot\Delta_{13}.
Substituindo os valores:
\det(N)=(-2)\cdot5-(-3)\cdot9+3\cdot(-3)=-10+27-9=8.]

Passo 8

Assim \det(M)=\det(M')=1\cdot\det(N)=8. Como \det(M)\neq 0, as colunas de M são linearmente independentes. Como \beta tem exatamente 4 vetores e \dim M_{2}(\mathbb{R})=4, a independência linear implica que \beta gera V e, portanto, é uma base de V.

Resposta

Verdadeiro

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