1. (Valor 3.0 pts) Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z dado por:
\begin{aligned} & a x+y+z=4 \\\ & x-a y+z=1 \\\ & x+y+z=a+2 \end{aligned}
(a) Determinar, se existem, os valores de a para os quais o sistema tem solução única, mais de uma solução (indeterminado) ou não tenha solução.
(b) Encontrar a solução em forma paramétrica do sistema para a=-1.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas x,y,z:
\begin{aligned} & a x+y+z=4 \\\ & x-a y+z=1 \\\ & x+y+z=a+2 \end{aligned}
As perguntas são:
(a) Determinar, para quais valores de a, o sistema tem solução única, tem mais de uma solução (indeterminado) ou não tem solução (incompatível).
(b) Para a=-1, encontrar a solução em forma paramétrica do sistema.

Passo 2

Como vamos proceder (explicando de leve o porquê): para decidir se há solução única usamos a propriedade clássica da matriz dos coeficientes — o determinante. Regra prática: se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, o sistema tem solução única; se for zero, o sistema pode ser ou indeterminado (infintas soluções) ou incompatível (nenhuma solução), e aí precisamos analisar caso a caso via eliminação ou análise das equações. Vou então:
  • montar a matriz dos coeficientes e calcular o determinante;
  • usar o resultado para separar os casos a\neq\pm1 e a=\pm1;
  • para a=\pm1 faço substituição e eliminação para concluir compatibilidade e, se for o caso, achar a solução geral.
Breve lembrete didático sobre determinante: dada a matriz dos coeficientes A, o determinante \det(A) é um número que, entre outras coisas, indica se as linhas (ou colunas) são linearmente independentes. Para sistemas lineares quadrados, \det(A)\neq0 garante existência e unicidade da solução.

Passo 3

Formo a matriz dos coeficientes A extraída das equações:
A=\begin{pmatrix} a & 1 & 1\\[4pt] 1 & -a & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Vou calcular \det(A). Usando a regra de Sarrus/expansão por cofatores (vou expandir pela primeira linha):
\det(A)=a\cdot\det\begin{pmatrix}-a & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -a\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}-a & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=(-a)\cdot1-1\cdot1=-a-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot1=0,
\det\begin{pmatrix}1 & -a\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-a)\cdot1=1+a.
Substituindo:
\det(A)=a(-a-1)-1\cdot0+1(1+a)=-a^2-a+1+a=1-a^2.
Portanto
\det(A)=1-a^2=(1-a)(1+a).]

Passo 4

Interpretação imediata do resultado:
  • Se \det(A)\neq0, isto é, se 1-a^2\neq0 ou seja a\neq\pm1, o sistema tem solução única (pois a matriz é invertível).
  • Se \det(A)=0, isto é, a=1 ou a=-1, a matriz não é invertível e o sistema pode ser indeterminado ou incompatível — precisamos analisar cada um desses valores separadamente.

Passo 5

Análise do caso a=1. Substituo a=1 nas três equações:
\begin{aligned} & 1\cdot x + y + z = 4 \quad\Rightarrow\quad x+y+z=4,\\[4pt] & x - 1\cdot y + z = 1 \quad\Rightarrow\quad x-y+z=1,\\[4pt] & x + y + z = 1+2 = 3 \quad\Rightarrow\quad x+y+z=3. \end{aligned}
Aqui já vejo uma contradição direta: as equações primeira e terceira dizem simultaneamente x+y+z=4 e x+y+z=3, o que é impossível. Portanto, para a=1 o sistema é incompatível — não tem solução alguma.]

Passo 6

Análise do caso a=-1\). Substituo \(a=-1\) nas equações: \[\begin{aligned} & (-1)x + y + z = 4 \quad\Rightarrow\quad -x+y+z=4,\\[4pt] & x -(-1)y + z = 1 \quad\Rightarrow\quad x+y+z=1,\\[4pt] & x+y+z = -1 + 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x+y+z=1. \end{aligned}
Observação: a segunda e a terceira equação são idênticas ( x+y+z=1), então temos apenas duas equações efetivamente independentes em três incógnitas — isso indica possibilidade de infinitas soluções (grau de liberdade 1), desde que as duas equações não sejam contraditórias entre si. Vamos resolver essas duas equações:
\begin{cases} -x+y+z=4,\\[4pt] x+y+z=1. \end{cases}
Posso somar as duas equações para eliminar x\]: \[(-x+y+z)+(x+y+z)=4+1 \quad\Rightarrow\quad 2y+2z=5.\] Dividindo por \(2:
y+z=\tfrac{5}{2}.
Também posso subtrair a primeira da segunda (ou usar outra combinação) para encontrar x: subtraindo a primeira da segunda:
(x+y+z)-(-x+y+z)=1-4 \quad\Rightarrow\quad 2x=-3 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{3}{2}.
Portanto fixamos x=-\tfrac{3}{2} e a relação y+z=\tfrac{5}{2}. Como há uma variável livre, introduzo um parâmetro, por exemplo t\in\mathbb{R}, e faço a parametrização clássica escolhendo z=t. Então
z=t,\qquad y=\tfrac{5}{2}-t,\qquad x=-\tfrac{3}{2},\qquad t\in\mathbb{R}.
Esse é o conjunto de todas as soluções: uma reta no espaço das incógnitas. Didaticamente: o parâmetro t representa a liberdade que sobra porque temos 2 equações independentes para 3 incógnitas; cada valor de t dá uma solução diferente.]

Passo 7

Resumo (pré-resposta): concluímos que \det(A)=1-a^2, portanto:
  • a\neq\pm1 \Rightarrow solução única;
  • a=1 \Rightarrow sistema incompatível (sem solução);
  • a=-1 \Rightarrow sistema indeterminado (infinitas soluções) e a solução paramétrica foi encontrada no passo anterior.

Resposta

(a) Para a\neq\pm1: solução única.
(a) Para a=1: sem solução (incompatível).
(a) Para a=-1: infinitas soluções (indeterminado).
(b) Para a=-1: \;x=-\tfrac{3}{2},\quad y=\tfrac{5}{2}-t,\quad z=t,\quad t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados